《椭圆及其标准方程(带gif动画)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《椭圆及其标准方程(带gif动画)(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、,第九章 圆锥曲线,椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢?,生活中的椭圆,仙女座星系,星系中的椭圆,“传说中的”飞碟, 太阳系行星的运动,数学实验,(1)取一条细绳, (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的 图形,思考,数学实验,(1)取一条细绳, (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过
2、程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?,请你归纳出椭圆的定义?,(1)由于绳长固定,所以点M到两个定点的距离和是个定值,(2)点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,根据上面的内容你更给 出椭圆的定义吗?,(一)椭圆的定义,平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (2a) (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。,椭圆定义的文字表述:,椭圆定义的符号表述:,(2a2c),O,r,设圆上任意一点P(x,y),以圆心O为原点,建立直角坐标系,两边平方,得, 回忆如何求圆的方程的?, 探讨建立平面直角坐标系的方
3、案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”,方案一,解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ,则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,(问题:下面怎样化简?),由椭圆的定义得,限制条件:,代入坐标,2.椭圆的标准方程的推导,两边除以 得,由椭圆定义可知,焦点在y轴:,焦点在x轴:,椭圆的标准方程,记忆方法: 在那个字母下面,焦点就在哪个坐标轴(哪个字母下面的数大,焦点就在哪个轴上),图 形,方 程,
4、焦 点,F(c,0),F(0,c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1+MF2=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表,注:,共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.,不同点:焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,1.口答:下列方程哪些表示椭圆?,练习一:,例1、填空: (1)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦,则F2CD的周长为_,例题,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准
5、则: 焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,练习二:判定下列椭圆的焦点在哪个轴,并指 明a2、b2,写出焦点坐标,答:在 X 轴(-3,0)和(3,0),答:在 y 轴(0,-5)和(0,5),答:在y 轴。(0,-1)和(0,1),判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。,0b9,练习三:,a3,3.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆,则m的取值范围是 .,变式:已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范 围是 .,(0,4),(1,2),4、 已知椭圆的方程为: ,请填空: (1) a=_,b=_,c=_,焦点坐标为_,焦距等于_. (2)若
6、C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点, 并且CF1=2,则CF2=_.,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,1,2,小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出,例3:平面内两个定点的距离是8,写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。,解:这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点,用F1、F2表示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 2a=10 2c=8 a=5 c=4 b2=a2c2=9, b=3,因此这个椭圆的标准方程是:
7、,定义法求轨迹方程。,习题:已知ABC的一边BC固定,长为8,周长为18,求顶点A的轨迹方程。,.,解:以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆,且焦点在轴上,所以可设椭圆的标准方程为 :,y,o,B,C,A,x, 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为:,练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:,(2)焦点为F1(0,3),F2(0,3),且a=5.,答案:,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点;,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结:求椭圆标准方程的步骤:,定位:确定焦点所在的坐标轴;,定量:求a, b的值.,