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1、第 第 第第5 5章 章 章 章 点的运动 点的运动 点的运动 点的运动 与刚体 与刚体 与刚体 与刚体 的简单运动 的简单运动 的简单运动的简单运动 (Motion of a Point and Simple motion of a RigidBody) 点的运动 点的运动 刚体的简单运动 刚体的简单运动 讨 讨 论 论 第5章 点的运动 第5章 点的运动 与刚体的简单运动与刚体的简单运动 矢量法 矢量法 直角坐标法 直角坐标法 自然（弧坐标自然（弧坐标)法 法 应用举例 应用举例 点的运动点的运动 矢量法 矢量法 运动方程 运动方程 速度 速度 加速度 加速度 变矢量求导的几何解释变矢量求
2、导的几何解释 矢量法矢量法 运运动方程动方程 点在任意瞬时点在任意瞬时t的位置用矢量的位置用矢量r(t)表示表示， r(t)简称为简称为位矢位矢(position vector) 。 r r r r = r (t) P P P x z y O 运动方程 运动方程 位矢端图位矢端图 速 速 度度 r(t) r (t t ) P P r v t 瞬时瞬时: 矢径矢径 r(t) r(t) r (t t ) r(t) 点在点在 t 瞬时的速度瞬时的速度 r r r v & = = = t t t d d lim 0 r r r v & = = = t t t d d lim 0 t 时间间隔内矢径的改
3、变量时间间隔内矢径的改变量 t t 瞬时瞬时: 矢径矢径 r (t t ) 或或r(t) r(t) x z y O 矢量法 矢量法 速 速 度度(velocity) 描述点在描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方 瞬时运动快慢和运动方 向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与 向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线；指向与 点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。点的运动方向一致；速度大小等于矢量的模。 v v v a & = = = t t t d d lim 0 v v v a & = = = t t t d d lim 0 r P v v P r v t 瞬时瞬时: 速度速度 v(
4、t) v(t) v (t t ) v(t) 点在点在 t 瞬时的加速度：瞬时的加速度： t 时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量 r r a & & = = 2 2 d d t r r a & & = = 2 2 d d t v t t 瞬时瞬时:速度速度 v (t t ) 或或v( t) v(t) x z y O 加 加 速 速 度度 矢量法 矢量法 加速度加速度(acceleration) 描述点在描述点在 t 瞬时速度大小和方向 瞬时速度大小和方向 变化率的力学量。加速度的方向为变化率的力学量。加速度的方向为 v的极限方向的极限方向(指向与轨 指向与轨 迹曲线的凹向一致迹曲线的凹
5、向一致) 加速度大小等于矢量加速度大小等于矢量a的模。的模。 a B参考系参考系 t时间间隔中矢量改变：时间间隔中矢量改变： ( A) B = A(t t ) B A(t) B ( A) B t 时刻时刻: 矢量矢量A(t) B A(t) B t+ t 时刻时刻: 矢量矢量A(t+ t ) B A(t t ) B 矢量法矢量法 ) ( d d ) ( B 0 lim A A A & = = B t t t ) ( d d ) ( B 0 lim A A A & = = B t t t 此即变矢量此即变矢量A(t)在参考系在参考系B中对于时间中对于时间t的导数。 的导数。 变矢量变矢量(vari
6、able vector)求导求导 变矢量求导的几何解释变矢量求导的几何解释 0 ) ( d d 1 1 1 1 lim 0 = t t y Ox OA t y Ox OA r r 0 ) ( d d 1 1 1 1 lim 0 = t t y Ox OA t y Ox OA r r 变矢量求导与参考系关系 变矢量求导与参考系关系 单摆矢量单摆矢量 r OA 在固定坐标系在固定坐标系 Ox 1 y 1 中 中 矢量法 矢量法 变矢量求导的几何解释变矢量求导的几何解释 0 ) ( d d 2 2 2 2 lim 0 t t y Ox OA t y Ox OA = r r 0 ) ( d d 2 2
7、 2 2 lim 0 t t y Ox OA t y Ox OA = r r 单摆矢量单摆矢量 r OA 在动参考系在动参考系 Ox 2 y 2 (固结于固结于OA杆上杆上)中 中 矢量法 矢量法 变矢量求导与参考系关系 变矢量求导与参考系关系 变矢量求导的几何解释变矢量求导的几何解释 r r r P P P x z y O 矢量法 矢量法 位矢端图位矢端图 (hodograph of position vector) 速度端图速度端图 (hodograph of velocities) O v x v y v z v v 1 v v v a 变矢量求导的几何解释变矢量求导的几何解释 矢量法矢
8、量法 r dt dr v & = = r dt dr v & = = v dt dv a & = = v dt dv a & = = 变矢量求导的几何解释 变矢量求导的几何解释 变矢变矢A（t）对时间对时间t的导数 的导数 为一新变矢，此 为一新变矢，此 新变矢为变矢新变矢为变矢A（t）的端点的速度的端点的速度 u，即，即 dt dA A u u A A = dt d 变矢量求导的几何解释变矢量求导的几何解释 运动方程 运动方程 速度 速度 加速度 加速度 直角坐标法直角坐标法 x z y O y x z j i k r P 运动方程 运动方程 不受约束的点在空间有不受约束的点在空间有 3个自
9、由度，在直角坐标 个自由度，在直角坐标 系中，点在空间的位置由系中，点在空间的位置由 3个方程确定个方程确定： x = f 1 (t) y = f 2 (t) z = f 3 (t) 直角坐标法直角坐标法 x z y O y x z j i k r v P 速 度 速 度 将矢径将矢径(position vector)表示成表示成 k j i r z y x + + = k j i r z y x + + = ) ( ) ( k j i k j i r v & & & & & & & z y x z y x + + + + + = = ) ( ) ( k j i k j i r v & & &
10、 & & & & z y x z y x + + + + + = = 0 = = = k j i & & & 0 = = = k j i & & & (Oxyz)为定参考系 为定参考系 直角坐标法直角坐标法 k j i k j i r v z y x v v v z y x + + = + + = = & & & & k j i k j i r v z y x v v v z y x + + = + + = = & & & & x z y O y x z j i k r v P 速 度 速 度 直角坐标法直角坐标法 k v j v i v k z j y i x r v z y x + + =
11、 + + = = & & & & k v j v i v k z j y i x r v z y x + + = + + = = & & & & z v y v x v z y x & & & = = = , , z v y v x v z y x & & & = = = , , 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的一阶导数等于点的相应坐标对时间的一阶导数。 加速度加速度 k a j a i a k z j y i x v a z y x + + = + + = = & & & & & & & k a j a i a k z j y i
12、x v a z y x + + = + + = = & & & & & & & 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等 于点的相应坐标对时间的二阶导数于点的相应坐标对时间的二阶导数。 。 直角坐标法直角坐标法 y x z j i k r x z y O v a a x x v x a & & & = = x x v x a & & & = = y y v y a & & & = = y y v y a & & & = = z z v z a & & & = = z z v z a & & & = = 弧坐标与运动方程 弧坐标与运动方程 密切面与自然轴系 密切
13、面与自然轴系 速度 速度 加速度 加速度 自然（弧坐标自然（弧坐标)法法 弧坐标弧坐标与运动与运动方方程程 如果点沿着已知的轨迹运动， 如果点沿着已知的轨迹运动， 则点的运动方程，可用点在已知轨迹 则点的运动方程，可用点在已知轨迹 上所走过的弧长随时间变化的规律描 上所走过的弧长随时间变化的规律描 述述弧坐标弧坐标(arc coordinate of a directed curve) 自然（弧坐标自然（弧坐标)法法 弧坐标要素：弧坐标要素： 1、有坐标原点、有坐标原点(一般在轨迹上 一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)； 2、有正、负方向、有正、负方向(一般以点的
14、 一般以点的 运动方向作为正向运动方向作为正向)； 3、有相应的坐标系、有相应的坐标系(自然轴系自然轴系)。 密切面与密切面与自然轴自然轴系系 密切面 密切面 自然（弧坐标自然（弧坐标)法 法 当当P 点无限接近于点无限接近于 P点时，过这 点时，过这 两点的切线所组成的平面，称为两点的切线所组成的平面，称为P 点的点的密切面密切面(osculating plane) 。 P P = lim P P = lim 由由密切面得到的几点结论密切面得到的几点结论 空间曲线上的任意点都存在密切面空间曲线上的任意点都存在密切面，而且 ，而且 是唯一的是唯一的。 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称 为第二曲率。 为第二曲率。 密切面密切面与自然与自然轴轴系系 自然（弧坐标自然（弧坐标)法法 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的 曲率，用 曲率，用 表示表示。 / 1 s s + P T(切线切线) N(主法线主法线) 自然轴系自然轴系 (tri
