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1、专题 椭圆 双曲线 抛物线 一、椭圆定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹顶点(a, 0), (0, b)(0, a), (b, 0)焦点长轴2a2a短轴2b2b焦距2c 通经长离心率e= 0e1.对称性:对称轴为x=0, y=0;对称中心为O(0,0) 实轴长2a虚轴长2b渐近线y=x;y=x1从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b.2共渐进线双曲线系:与共渐进线的双曲线方程是=( 0)双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.3双曲线方程中化1为0,因式分解可得渐进线方程4等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,. 5直线与双曲线仅有一个交点的位置关系:区域:无切线,2条与
2、渐近线平行的直线,合计2条;区域:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三、抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 (0,0)离心率通经2p焦半径1抛物线中p的几何意义是焦点到准线的距离,恒正;焦点坐标、准线方程与相关,是一次项的四分之一2注意抛物线焦点弦的特点:
3、如中 例题精讲例1若直线经过抛物线的焦点,则实数 例2. 已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为 .例3 . 已知F1、F2为椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= 。例4 (08北京19)已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1()当直线过点时,求直线的方程;()当时,求菱形面积的最大值答案解:()由题意得直线的方程为因为四边形为菱形,所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上,所以,解得设两点坐标分别为,则,所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知,点在直线上, 所以,解得所以直线的方程为
4、,即()因为四边形为菱形,且,所以所以菱形的面积由()可得,所以所以当时,菱形的面积取得最大值例5 (08全国2 21)设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点()若,求的值;()求四边形面积的最大值答案()解:依题设得椭圆的方程为,直线的方程分别为,2分如图,设,其中,且满足方程,故由知,得;由在上知,得所以,化简得,解得或6分()解法一:根据点到直线的距离公式和式知,点到的距离分别为,9分又,所以四边形的面积为,当,即当时,上式取等号所以的最大值为12分解法二:由题设,设,由得,故四边形的面积为9分,当时,上式取等号所以的最大值为12分例 6 (本
5、小题满分14分) 椭圆:的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为 (I)求椭圆的方程; (II)设过点的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若为直角三角形,求直线的斜率解:(I)由已知 3分又,解得所以椭圆C的方程为 5分 (II)根据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设联立,消去y得,6分,令,解得 7分设E、F两点的坐标分别为, (i)当EOF为直角时,则,8分因为EOF为直角,所以,即,9分所以,所以,解得 11分 (ii)当OEF或OFE为直角时,不妨设OEF为直角,此时,所以,即12分又将代入,消去x1得解得或(舍去),13分将代入,得 所以,14分经检验,所求k值均符合题意
6、,综上,k的值为和例 7 已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程;设,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;【解析】 由题意知,所以即又因为,所以,故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为由得 设点,则直线的方程为令,得将,代入整理,得由得,代入整理,得所以直线与轴相交于定点例 8 (12年东城期末)已知椭圆的左、右焦点分别为, 点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形()求椭圆的方程;()过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为,且,证明:直线过定点()解:()由已知可得 ,所求椭圆方程为
7、5分()若直线的斜率存在,设方程为,依题意设,由 得 7分则 由已知,所以,即 10分所以,整理得 故直线的方程为,即()所以直线过定点()12分若直线的斜率不存在,设方程为,设,由已知,得此时方程为,显然过点()综上,直线过定点()13分例9 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是,离心率是,直线椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P。()求椭圆C的方程;()若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;()设Q(x,y)是圆P上的动点,当变化时,求y的最大值。解:()因为,且,所以所以椭圆C的方程为()由题意知由 得所以圆P的半径为 ,解得 所以点P的坐标是(0,)()由()知,圆P的方程
8、。因为点在圆P上。所以设,则当,即,且,取最大值2.例10.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程;设,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;在的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围【解析】 由题意知,所以即又因为,所以,故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为由得 设点,则直线的方程为令,得将,代入整理,得由得,代入整理,得所以直线与轴相交于定点当过点直线的斜率存在时,设直线方程为,且,在椭圆上由得易知所以,则因为,所以所以当过点直线的斜率不存在时,其方程为解得,此时所以的取值范围是例
9、11 已知椭圆C的左,右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左,右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。(1) 求椭圆C的方程;(2) 求线段MN长度的最小值;(3) 当线段MN的长度最小时,在椭圆C上的T满足:的面积为。试确定点T的个数。解(1)因为,且,所以 所以椭圆C的方程为 3分 (2 ) 易知椭圆C的左,右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在,且 故可设直线AS的方程为,从而 由得 设,则,得 从而,即 又,故直线BS的方程为 由得,所以,故 又,所以 当且仅当时,即时等号成立 所以时,线段MN的长度取最小值 .9分(3)由(2)知,
10、当线段MN的长度取最小值时,此时AS的方程为,, 所以,要使的面积为, 只需点T到直线AS的距离等于, 所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上 设,则由,解得 当时,由得 由于,故直线与椭圆C有两个不同交点 时,由得由于,故直线与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2. 针对训练1、若方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( ) 或 或2、椭圆的左右焦点分别为点在椭圆上,如果线段的中点在轴上,那么是的( )倍 倍 倍 倍3、椭圆上有一点其两焦点为若则的面积是( ) 4、若双曲线和椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程是则这个双曲线的方程是( ) 5、双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率是( ) 6、椭圆与双曲线有相同的焦点,则的取值范围是( ) 7、过双曲线的右焦点作直线,交双曲线于两点,若则这样的直线存在( )条 条 条 条8、焦点在直线上的抛物线的标准方程为( )或 或或 或9、已知抛物线上一点到准线的距离为,则到顶点的距离等于( ) 10、已知抛物线的焦点定点为抛物线上一动点,则的最小值是( ) 11、抛物线上一点到直线的距离最短,则这一点的坐标为( ) 12、以抛物线的焦半径为直径的圆与轴的位置关系为( )A. 相交 B. 相离