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1、走进新 课 ? 程 ? ? ? 球面几何简介( ?) 安徽教育学院 ? 杨世国 ? ( 邮编: 230061) ? ? (续第 3 期?球面几何简介( ? )?) 5? 球面三角形正弦定理与余弦定理 在平面几何中, 三角形全等各种条件( sas, sss, asa, aas) 说明了三角形的唯一性。到了平面三角学, 我们 就要把这种唯一性定理提升到有效能算的边角函数关 系, 其中最基本、 最重要的就是平面三角形正弦定理和 余弦定理。它们揭示了平面三角形边角之间的关系, 它们是平面几何中通制全局的枢纽, 它们是用解析法 研究几何的基础, 用它们可以推出全部的三角公式。 同样, 球面三角形全等的各
2、种条件(sas, sss, aaa, asa) 说 明了球面三角形的唯一性, 如何把对球面三角形的理 解也提升到有效能算的边角函数关系, 和平面几何内 容一样, 其中最基本、 最重要的就是球面三角形正弦定 理与余弦定理。 如图 5?1 所示, 对球 面 S2( O, 1) 上的三 角形 ABC, 记 a ?= OA , b?= OB, c?= OC。那么 a 是 b?与 c?间 夹角(弧度) , 从而有 cosa= b ? c?, sina= | b? ? c ?| ( 5?1) 同理, 有 cosb= a ? c?, sinb= | a? ? c ?| ( 5?2) cosc= a ?b?
3、, sinc= | a ? ? b ? | ( 5?3) 定理 5?1? ( 球面三角形边之余 弦定理) ? 对球面 S2( O, 1)上的三角形 ABC, 有 cosa= cosb cosc+ sinb sinc cosA(5?4) cosb= cosa cosc+ sina sinc cosB(5?5) cosc= cosa cosb+ sina sinb cosC(5?6) 证明? 由图 5?1所示可知, ? A 是平面OAB 与平 面 OA C 所成的内二面角, 因此? A 也等于两向量 a ? ? b ?(平面 OAB 的内法向量) 与 a? ? c ?( 平面 OAC 的外法 向量
4、)的夹角, 从而有 ( a ? ? b ?)?( a? ? c ?)= | a? ? b ?|?| a? c?| cosA = sinc?sinb?cosA(5?7) 利用 Lagrange 恒等式 6, 有 ( a ? ? b ?)?( a? ? c ?)= ( a? a?)( b? c?)- ( a?c?) ( b?a?) = cosa- cosb cosc(5?8) 由(5?7) 与(5?8)两式得( 5?4) 式。 同理可证(5?5) 、 ( 5?6) 式成立。 利用球面三角形边之余弦定理 5?1 和对偶定理 3?4, 可得球面三角形角之余弦定理。 定理 5?2? (球面三角形角之余弦
5、定理) ? 对球面 S2( O, 1) 上的三角形 ABC, 有 cosA = - cosB cosC+ sinB sinC cosa( 5?9) cosB= - cosA cosC+ sinA sinC cosb(5?10) cosC= - cosA cosB+ sinA sinB cosc(5?11) 证明? 设球面三角形 ABC 的极三角形为 ? A * B*C * , 则由定理 5?1 有 cosa*= cosb*cosc*+ sinb*sinc*cosA * (5?12) 利用定理 3?4, 有 a*= ?- A , b*= ?- B, c*= ?- C, A * = ?- a。将上
6、面四式代入(5?12) 式, 得 cosA = - cosB cosC+ sinB sinC cosa, 所以( 5?9) 式成立。 同理可证( 5?10)、 ( 5?11)两式成立。 球面三角形边之余弦定理 5?1 说明: 球面三角形 的任一个内角可用它的三边来表示, 这与欧氏平面上 三角形的结论是类似的。 球面三角形角之余弦定理 5?2 说明: 球面三角形 的任一边可以用它的三个内角来表示。这与欧氏平面 上三角形的结论是截然不同的。 由球面三角形余弦定理可证得球面三角形正弦定 理。 定理 5?3? (正弦定理) ? 对球面 S2( O, 1)上的三 角形 ABC, 有 sina sinA
7、= sinb sinB= sinc sinC= sina sinb sinc 2? (5?13) 其中? =sinp sin( p- a) sin( p- b) sin( p- c) , p= 1 2 ( a+ b+ c) ? (0, ?) 。 证明? 由球面三角形边之余弦定理 5?1, 有 sin2b sin2c cos2A = (cosa- cosb cosc)2, 从而有 sin2b sin2c sin2A = sin2b sin2c(1- cos2A ) = sin2b sin2c- ( cosa- cosb cosc)2 = (sinb sinc+ cosa- cosb cosc)
8、( sinb sinc- cosa + cosb cosc) = cosa- cos( b+ c) cos( b- c)- cosa = 4 sin a+ b+ c 2 ?sin b+ c- a 2 ?sin a+ c- b 2 ?sin a+ b- c 2 = 4 sinp sin( p - a) sin( p - b) sin( p - c)= 4? 2。 12005 年第 4 期 ? ? ? ? ? ? 中学数学教学? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由此可得sina sinA = sina sinb sinc 2? , 同理可证sinb sinB= sinc sinC=
9、 sina sinb sinc 2? 。 利用球面三角形正弦定理 5?3 及球面三角形对偶 定理 3?4, 可得正弦定理的对偶定理。 定理 5?4? ( 正弦定理) ? 对球面 S2( O, 1) 上的三 角形 ABC, 有 sinA sina = sinB sinb = sinC sinc = sinA sinB sinC 2? ( 5?14) 其中 ?=- cosP cos(P- A ) cos( P- B) cos( P- C), P= 1 2 ( A + B+ C) 。 证明? 设球面三角形 ABC 的极三角形为 ? A * B * C*, 那么由对偶定理 3?4, 有 a*= ?-
10、A , b*= ?- B, c*= ?- C, A * = ?- a, B*= ?- b, C * = ?- c。 ( 5?15) 对? A * B * C*应用正弦定理 5?4, 有 sina* sinA *= sinb* sinB * = sinc* sinC* = sina*sinb*sinc* 2? * ( 5?16) 将(5?15)中的各式代入( 5?16)式便得( 5?14)式。 利用球面三角形正弦定理和余弦定理, 可得: 定理 5?5 ? 对球面 S2( O, 1) 上的直 角三角形 ABC, ?C= ? 2 , 则有 (i) cosc= cosa cosb; ? ? (ii)
11、sinA = sina sinc ; (iii) cosA = tanb tanc ; ? ? (iv) tanA = tana sinb 。 证明? (i) 由定理 5?1 中的(5?6)式便得。 (ii) 由定理 5?3 便得。 (iii) 由定理 5?1 中( 5?4) 式及( i) , 得 cosA = cosa- cosb cosc sinb sinc = cosa- cos2b cosa sinb sinc = cosa sin2b sinb sinc = cosa sinb sinc ? cosc cosa cosb = sinb cosb? cosc sinc = tanb t
12、anc 。 (iv) 由(ii)、 (iii)可得 tanA = sinA cosA = sina sinc? tanc tanb = sina sinc? sinc cosc? cosb sinb= sina cosa sinb= tana sinb 。 6? 三角公式 有了球面三角形正弦定理和余弦定理, 可以说球 面三角的内容大局已定, 球面三角形的唯一性已完全 转化成有效能算的边角函数关系, 也就是说我们已经 登上了球面三角形的定量层面, 在这一层面上要沿不 同方向继续开拓, 发掘出在实用上和计算上更便于应 用的各种形式的球面三角公式, 这些公式实质上都可 以由球面三角形正弦定理和余弦定
13、理变换而得到。 定理 6?1? (半角公式) ? 对球面 S2( O, 1)上的三 角形 ABC, 有 半角正弦公式: sin A 2 = sin( p - b) sin( p - c) sinb sinc , sin B 2 = sin( p - a) sin( p - c) sina sinc , sin C 2 = sin( p - a) sin( p - b) sina sinb 。 ( 6?1) 半角余弦公式: cos A 2 = sinp sin( p - a) sinb sinc , cos B 2 = sinp sin( p - b) sina sinc , cos C 2 =
14、 sinp sin( p - c) sina sinb 。 ( 6?2) 证明? 由平面三角公式 cosA = 1- 2 sin2 A 2 , cos( b- c)= cosb cosc+ sinb sinc。 将上面两式代入球面三角形边之余弦定理 5?1 中 的( 5?4) 式, 得 sin2 A 2 = cos( b- c) - cosa 2sinb sinc 。 由上式与平面三角中的和差化积公式得 sin2 A 2 = sin a+ b- c 2 sin a+ c- b 2 sinb sinc = sin( p- b) sin( p - c) sinb sinc , 所以( 6?1) 中
15、第一式成立。 同理可证( 6?1) 中的其他两式也成立。 利用平面三角公式 cosA = 2cos2 A 2 - 1, cos( b+ c)= cosb cosc- sinb sinc。 将上面两式代入公式( 5?4) , 得 cos2 A 2 = cosa- cos( b+ c) 2sinb sinc 。 由上式与平面三角中的和差化积公式得 cos2 A 2 = sin a+ b+ c 2 sin b+ c- a 2 sinb sinc = sinp sin( p- a) sinb sinc , 所以( 6?2) 中的第一式成立。 同理可证( 6?2) 中的其他两式也成立。 注: 利用半角正
16、弦与半角余弦公式(6?1)、 (6?2) 可 得半角正切 公式。利 用半角正弦 与半角余弦 公式 ( 6?1) 、 (6?2), 以及对偶定理 3?4, 可得球面三角形半 边正弦与半边余弦公式。 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 中学数学教学? ? ? ? ? ? 2005 年第 4 期 利用平面三角中的加法公式与球面三角形的半角 正弦公式、 半角余弦公式( 6?1)、 ( 6?2), 可得下面德布 兰? ? 高斯公式。 定理 6?2? 对球面 S2( O, 1)上的三角形 ABC, 有 sin A + B 2 = cos a- b 2 cos C 2 cos c 2 , sin A - B 2 = sin a- b 2 cos C 2 sin c 2 , cos A + B 2 = cos a+ b 2 sin C 2 cos c 2 , cos A - B 2 = sin a+ b 2 sin C 2 sin c 2 (6?3) (6?3) 中各式的推导请读者完成。应用上述已有 的三角
