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1、专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。解得。椭圆的标准方程为.（）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，要
2、使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）;（2）直线过定点【解析】
3、试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设，则，则；同理： .由在直线上（1）；由在直线上将（1）代入 （2）将（2）代入方程，即可得出直线过定点（2）设，则，则即；同理： ；.由在直线上，即（1）；由在直线上将（1）代入 （2）将（2）代入方程，易得直线过定点3【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线的斜率分别为，求的值.【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）【解析】试题分析;（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点
4、坐标；（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值；因为的重心的纵坐标为，所以，所以，所以，所以，又.所以.4已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2（）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，求证： 为定值【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. （）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为, 将代人得点坐标为， 由，消元得， 设， ，则且， 方法一：因为，所以. 同理，且与异号， 所
5、以 . 所以， 为定值. 当时，同理可得. 所以， 为定值. 同理，且与异号， 所以 . 又当直线与轴重合时， ， 所以， 为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证： 是一个定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线
6、的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线的方程为，由得， ，是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.6【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.【解
7、析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离 ， 当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 . 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决7【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线
8、渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上（）求双曲线的方程；（）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值【答案】（）；（） .【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。（）由题意知。设直线方程为，由 ，解得，。由直线方程为.以代替上式中的，可得。 8【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为（）求椭圆的标准方程；（）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，
9、B探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。x1+x2=，x1x2=， 又直线PA的方程为y1=（x2），即y1=（x2），因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），当且仅当t=2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，2）. 9【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭
10、圆交于两点，点是椭圆上的点，若， ，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)1.【解析】试题分析; （1）设，则， ，设， ，以及， ，由,由椭圆的定义可得，结合，综合可得： ，可得椭圆的方程；（2）由（1）知，直线的方程为： ，由此可得.，又， 的方程为，可得则可得，又， .，故.当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.综上，可知为定值1.有，则，综合可得： 椭圆的方程为： . （2）由（1）知，直线的方程为： 即： ，所以.， 的方程为，令，可得，
11、 则又点到直线的距离为，.当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.综上， .【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大10【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y24x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.【答案】（1）8；（2）证明见解析【解析】试题分析：（）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次
12、方程，根据根与系数的关系，求出弦长；（）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-20
13、18学年高二上学期期中】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.故若存在定点，则的坐标只可能为.下面证明为所求：若直线的斜率不存在，上述己经证明. 若直线的斜率存在，设直线， ，即以线段为直径的圆恒过点.点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关
14、系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。12【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率，求得，由，得，将点代入，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）设， 直线的方程是与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将用 表示，化简后消去即可得结果. （定值），为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特
