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1、 2013届 本科毕业论文蛛网模型的研究与应用院（系）名称统计学院专 业 名 称数学与应用数学学生姓名#学号 #指导教师#完 成 时 间2013.5蛛网模型的研究与应用# 统计学院 数学与应用数学 学号：#指导教师：#摘 要：本文首先从蛛网模型的经济学定性分析出发，分析了蛛网波动的三种类型.然后分别在连续时间的条件下以时滞微分方程的形式和在离散化时间条件下以差分方程的形式两种角度建立模型，对传统的蛛网模型进行了定量分析并讨论了均衡点趋于稳定的条件.最后讨论了蛛网模型的实际应用并对其进行了改进及推广.关键词：蛛网模型；差分方程；时滞微分方程；稳定性1 蛛网模型介绍蛛网理论(cobweb theo
2、rem)，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型. 蛛网理论是20世纪30年代出现的一种关于动态均衡分析方法.许多商品特别是某些生产周期较长的商品(如猪肉,棉花等)，他们的的市场价格、数量会随时间的变化而发生变化,呈现时涨时跌、时增时减、交替变化的规律. 1930年美国的舒尔茨、荷兰的丁伯根和意大利的里奇各自独立提出,由于价格和产量的连续变动用图形表示犹如蛛网，1934年英国的尼古拉斯卡尔多将这种理论命名为蛛网理论.蛛网模型理论是在现实生活中应用较多、较广的动态经济模型，它在一定范围内揭示了市场经济的规律，对实践具有一定
3、的指导作用.根据产品需求弹性与供给弹性的不同关系，将波动情况分成三种类型：收敛型蛛网（供给弹性小于需求弹性）、发散型蛛网（供给弹性大于需求弹性）和封闭型蛛网(供给弹性等于需求弹性).近年来，许多学者对经典的蛛网模型进行了广泛的的研究并做了一些改进,建立了更符合实际经济意义的蛛网模型.在这些研究中,对蛛网模型的假设基本上是基于单一商品市场上,将时间离散化后,从差分方程的角度入手, 研究蛛网模型的稳定性,并通过讨论模型平衡点的稳定性,得到了蛛网模型稳定的条件.实际上，价格是影响商品需求量、供给量因素,但并非唯一因素，例如人们对某种商品的需求量不仅与商品的价格有关,也与人们当期的可支配收入、当期价格
4、上涨率等有关；另一方面，由于市场信息的滞后作用，生产者在进行市场价格与供给预测时，不仅会考虑前一期的价格，还会考虑到前几期甚至更长一段时期商品价格的综合趋势，因此考虑时滞效应的非均衡蛛网模型更具有实际意义.本文建立了蛛网理论的数学模型,给出了相应的数学分析与论证，使蛛网理论有了一个更加完备的理论基础，同时也为这一理论的量化分析提供了新的思路.2 蛛网模型在西方经济学中的定性分析蛛网模型考察的是生产周期较长的商品.蛛网模型的基本假设条件是：商品的本期产量决定于前一期的价格，即供给函数为.商品本期的需求量决定于本期的价格，即需求函数为.文中用、分别表示时刻的价格、数量、需求量、供给量.蛛网模型是一
5、个动态模型，它根据供求曲线的弹性分析了商品的价格和产量波动的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”和“封闭型蛛网”.第一种类型：如图所示，相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值.当市场受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会恢复到原来的均衡点.相应的蛛网称为“收敛型蛛网”.由于某种原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平减少为.根据需求曲线，消费者愿意以价格购买全部产量，于是，实际价格上升为.根据第一期较高的价格水平，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为；在第二期，生产者为了出售全部产量，接受消费者
6、支付的价格，于是实际价格下降为.根据第二期较低的价格,生产者将第三期的产量减少为；在第三期，消费者愿意支付的价格购买全部的产量,于是实际价格又上升为.根据第三期的较高的价格，生产者又将第四期的产量调整为.依此类推，如图所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点所代表的水平.由此可见，图中均衡点状态是稳定的.也就是说，由于外在的原因，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态时，经济体系中存在着自发的因素，能使价格和产量自动的恢复均衡状态.在图中，产量与价格变化的路径就形成了一个蜘蛛网似的图形. 从图中可以看到,只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时,即供给曲线比需求曲线
7、较为陡峭时,才能得到蛛网稳定的结果,相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”.在这里,我们看到,除第一期受到外在原因干扰外,其它各期都不会再受新的外在原因干扰,从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量.按照动态的逻辑顺序,我们还看到,生产者片面地根据上一期的价格决定供给量, 消费者被动地消费生产者提供的全部生产量,而价格则由盲目生产出来的数量所决定.第二种类型：如图所示，相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值.当市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，最后会偏离原来的均衡点.相应的蛛网称为“发散型蛛网”. 假定在第一期由
8、于某种原因的干扰，实际产量由均衡水平减少为.根据需求曲线，消费者愿意支付价格购买全部产量，于是实际价格上升为，根据第一期较高的价格水平，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为；在第二期，生产者为了出售全部产量，接受消费者支付的价格，于是实际价格下降为.根据第二期较低的价格,生产者将第三期的产量减少为；在第三期，消费者愿意支付的价格购买全部的产量,于是实际价格又上升为；根据第三期的较高的价格，生产者又将第四期的产量调整为.依此类推，如图所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越大，最后偏离均衡点所代表的水平.由此可见，图中均衡点所代表的均衡状态是不稳定的.从图可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率
9、的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果.所以供求曲线的上述关系是蛛网不稳定的条件，当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，偏离原来的均衡点越来越远.相应的蛛网称为“发散型蛛网”.第三种类型：如图所示,相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时.市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会按照同一幅度围绕均衡水平上下波动，既不偏离，也不趋向均衡点.相应的蛛网称为“封闭型蛛网”.对于图中,不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种
10、情况类似，故从略.从图可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，供求曲线具有相同的陡峭与平缓程度时，蛛网以相同的幅度上下波动，相应的蛛网称为“封闭型蛛网”.3 蛛网模型的数学分析3.1 连续时间条件下的蛛网模型的数学分析在连续时间的条件下,建立起微分方程形式的蛛网模型,研究蛛网模型的稳定性,并对模型结果进行了经济解释.我们考虑基于单一商品的市场的蛛网模型，并假设:时间是连续变量,价格、商品数量随时间连续变化.设某商品价格是时间的函数，供给量由供给函数决定,记做.供给是由多种因素决定的, 这里我们略去价格以外的因素, 只讨论供给与价格的关系.考虑
11、到商品生产者对商品信息了解到商品价格的调节有个时间滞后，假定供给是某一时期价格的线性函数: 其中, 、是大于零的常数,可表示商品的边际供给量.在传统的蛛网理论中，需求是价格的函数，价格作为影响需求的唯一因素，这对正确反映商品价格变化规律具有一定局限性，为更好的反映商品价格变化过程，考虑影响需求的其他因素如价格上涨等.假设需求与价格及价格的上涨率都有关系，需求与价格、价格上涨率负相关.为此建立的需求函数为： 其中, 、是大于零的常数，表示商品的边际需求量. 的大小反映了商品需求对价格上涨率的依赖程度.需求量与供给量之差称为过量需求，即需求大于供给的部分.供给者时刻都在确定价格，根据商品市场在正常
12、的情况下, 商品供需的变化引起价格的变动, 价格的涨速与第段时间过剩的需求正相关, 即 所以有 其中，为价格的调节系数, 反映价格依据超额需求的变动而进行调节时的调整速度和幅度的度量参数.将式、式代入式可得 在式中，令，则有 当时，系统有唯一平衡点.当需求量等于供给量，即市场出清时的价格为均衡价格，即 为均衡价格.系统在处线性近似系统为： 其中，系统的特征方程为： 令，式可化为，其中，.记，显然具有主项.令,则由于函数的所有零点都是实数，又因为，则对于的每一个零点都有不等式成立：如果，那么系统的平衡点是局部渐进稳定的.通过对系统的分析,可得到如下结论:如果边际商品供给小于边际商品需求，边际商品
13、需求不大于,并且商品需求对商品价格上涨率的依赖程度满足一定条件,那么无论时滞多么大,商品价格随着时间的变化,稳定的趋于均衡价格.也就是说，无论供给者从了解商品需求到调控生产量的时间滞后有多长，对价格的调整有多么不同,只要这些调控的幅度不是很大,商品的价格总是能够回到使供需相等的均衡价格水平；反之，如果边际商品供给大于边际商品需求,边际商品需求不大于,当时滞取一定值时，系统会出现分支,也就是说,价格会围绕均衡价格上下波动，而且商品的价格最终不能回到均衡价格.3.2 离散时间条件下的蛛网模型的数学分析最简单的市场经济模型是单一商品市场模型,在时间离散化后的条件下，假设商品的供给量、需求量,只与该商
14、品的价格有关,由需求量等于供给量建立的方程,即均衡方程,求得其解即是均衡价格.若进一步假定需求、供给是价格的线性函数,可以得到传统线性蛛网模型.最后在需求、供给是价格的非线性函数的条件下,可以得到非线性蛛网模型.3.2.1 蛛网模型的线性分析由蛛网模型的基本假设条件,本期的需求量是本期价格的线性函数，即,表示商品价格减少个单位时需求量的上涨幅度；而本期的供给量是由上一期的价格决定的,为上一期价格的线性函数,即，表示商品价格增加个单位时供给量的上涨幅度.该模型可以用以下三个联立的方程式来表示： 式中，、均为常数，且均大于零.为第期的需求量,为第期的供给量,为第期的价格,为第期的价格.将前面的式和式代入式可得 由此可得第期的产品价格为 又因为在市场均衡时，均衡价格为,所以，由式可得均衡价格为 均衡价格是一种理想状态，即在此价格水平下，每个人的需求都得到满足，而且不会有商品卖不出去.将式代入式可得 分析式，可以得到以下三种情形第一种情况，若,当时,则此时.也就是说,价格 随着时间的推移,其波动幅度愈来愈小,最终趋向于均衡价格.事实
