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1、28.计数方法知识纵横 所谓计数,通俗地说就是数数,即把我们研究的对象的个数数出来.毛 当研究的对象比较简单,且数目也不大时,枚举法是最基本而又简单的方法,即把对象的所有可能一一列举出来,数出总数即可. 当研究的对象比较复杂,且数目较大时,计数时常常要用到如下两原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法,那么完
2、成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.例题求解 【例1】如图,从甲地到乙地共有4条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,从甲地到丙地有5条路可走,那么从甲地到丙地共有_条. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 从甲地到丙地可分两类办法:直达和转乙地. 解:17 提示:共有34+5=17(条)路可走 【例2】右图中的小方格是边长为1的正方形,则从图中一共可以数出( )个正方形.A.24 B.210 C.50 D.90 (2001年“五羊杯”邀请赛题) 思路点拨 图中的正方形可以分成边长为1,边长为2,边长为3,边长为4这4种类型,分别求出每种规格的正方形个数. 解:选C 提示:边长为1的正方形
3、为46个,边长为2的正方形有35个,边长为3的正方形有24个,边长为4的正方形有13个,共有46+35+24+13=50(个) 【例3】我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?一般地,n条直线最多有多少个交点?说明理由. 思路点拨 从特殊情况入手,由简到繁,深入思考,从中发现规律. 解:提示:三条直线的情形:若平面上已有两条直线,再添一条直线,则这条直线和原来平面上的两条直线各有一个交点,所以有1+2个交点,同理,4条直线的情形为在原来三条直线的基础上添加一条直线,共多出3个交点,所以有1+2+3个交点.一般地,n条直线两
4、两相交,其交点数为1+2+(n-1)= 个. 【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字,可以组成 (1)多少个四位数,其中有多少个奇数,有多少个偶数? (2)多少个没有重复数字的四位数,其中有多少个奇数,有多少个偶数? 思路点拨 要确定四位数,必须一位一位来考虑,显然计数时,需要用乘法原理,(2)问与(1)问的差别在于,增加了“没有重复”的限制. 解:提示:(1)这个四位数的最高位不是0,故最高位有6种选法(即选16中的任一个数字),其余各位,可以从06这7个数字中任选,故共有6777=2058个四位数,在这些四位数中,奇数的个数也可用类似方法获得,有6773=882个,偶数2058-8
5、82=1176个. (2)同理,没有重复数字的四位数有6654=720个,其中奇数有3554=300个,其中偶数有720-300=420个. 【例5】两条平行直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连接线段:同一直线上的点之间不连接,连接的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其他的交点. (1)画图说明当n=1,2,3时,连接的线段最多各有多少米? (2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条,证明你的结论; (3)当n=2003时,所连接的线段最多有多少条? (第14届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把直线标记为L1,L2,它们上面的点从左到右分别为A1,A2,A3,A
6、n和B1,B2,B3,Bn,设这n对点之间连接的直线段最多有pn条,解题的关键是探讨pn+1与pn的关系.解:(1)由下图可以看出,n=1时,最多可以连接1条线段,n=2时,最多可以连接3条线段,n=3时,最多可以连接5条线段. 图 图(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连接的直线段最多有2n-1条. 证明:将直线标记为L1、L2,它们上面的点从左到右排列分别为A1,A2,A3,An和B1,B2,B3,Bn,设这n对点之间连接的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数. 当在L1、L2上分别加上第n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已
7、经有的Pn条直线段外,还可以连接An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连接AnBn+1,An+1Bn+1这两条线段. 所以Pn+1Pn+2,另一方面,设对于n+1对点有另一种连法: 考虑图中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个in,使得对于任意的ji,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,Bi+1,Bi+2,Bn+1只能与An+1连接,不妨设An+1Bi+1,An+1Bi+2,An+1Bn+1都已连接,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作: 去掉An+1Bi,连接AnBi+1,得到新的连接图,而新的连接图满足要求且线段总数不变,将此操作一
8、直进行下去,直到与An+1连接的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+1-2条线段,而图形恰是n对点的连接图,所以Pn+1-2Pn. 由此我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3, 所以Pn=1+2(n-1)=2n-1. (3)当n=2003时,P2003=4005(条).学力训练一、基础夯实1.第一个口袋中装2个球,第二个口袋中装4个球,第三个口袋中装5个球,所有三个口袋中的球各不相同. (1)从口袋中任取一个球,共有_种不同的取法. (2)从三个口袋中各取一个球,有_种不同的取法.2
9、.如图,在四个正方形拼接成的图形中,以A1、A2、A3、A10这十个点中任意三点为顶,共能组成_个等腰直角三角形. (2003年泉州市中考题) （第2题） （第4题）3.画一条直线,可将平面分成2个部分,画2条直线,最多可将平面分成4个部分,那么,画6条直线最多可将平面分成_个部分. (第14届“希望杯”邀请赛试题)4.一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送.例如信息到b2点可由经a1的站点送达,也可由经a2的站点送达,共有两条途径传送,则信息由A点到达d3的不同途径共有( ).A.3条 B.4条 C.6条 D.12条 (2003年南宁市中考题)5.如图,图中不同的线段的条数有
10、( ).A.52条 B.63条 C.141条 D.154条 （第5题） （第7题）6.平面内的7条直线任两条都相交,交点数最多有a个,最少有b个,则a+b等于( ). A.42 B.41 C.21 D.22 (2003年北京市竞赛题)7.如图,在表板上有4个开关,如果相邻的2个开关不能同时是关的,那么所有不同的状态有( ).A.4种 B.6种 C.8种 D.12种 (第15届江苏省竞赛题)8.如图,左右相邻两点,上下相邻两点之间距离都等于1厘米,把这些点连接起来,作为三角形的顶点,那么可以组成多少个直角三角形?9.用数字0,1,2,3,4可以组成多少个 (1)四位数? (2)四位偶数?(3)没
11、有重复数字的四位数?(4)没有重复数字的四位偶数?二、能力拓展10.5人站成一排照相,其中一人必须站在中间,有_种站法.11.在1到300这300个自然数中,不含有数字3的自然数有_个.12.跳格游戏:如图,人从格外只能进入第1格;在格中,每次可向前跳1格或2格,那么人从格外跳到第6格可以有_种方法. (第15届江苏省竞赛题) （第12题） （第13题）13.如图,由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中,包含“”在内的长方形及正方形一共有_个. (北京市“迎春杯”竞赛题)14.如图,正方形被分成9个相同的小正方形,一共16个顶点,以其中不在同一直线上的3个顶点为顶点,可以构成三角形,在
12、这些三角形中,与阴影面积相等的三角形有_个. （第14题） （第15题） （第16题） 15.如图,一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形). A.64 B.63 C.60 D.48 (2000年“五羊杯”竞赛题)16.如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指数轮子上的一个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数字为b,数对(a,b)所有可能的个数为n,其中a+b恰好偶数的不同数对的个数为m,则等于( ). A. B. C. D. (2000年山东省竞赛题)17. (2002年重庆市竞赛题)如图,从A点B点(只从左向
13、右,从上到下),共有( )种不同的走法.A.24 B.20 C.16 D.12 18.平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分?一般地,n个圆最多能把平面分成多少个部分?19.5个人站成一排照相. (1)若甲、乙两人必须相邻,则有多少不同的站队方法? (2)若甲、乙两人必不相邻,则有多少不同的站队方法?三、综合创新20. (第11届“希望杯”邀请赛试题)将编号为1,2,3,4,5的5个小球放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中,每个盒子中只放入一个. (1)一共有多少种不同的方法? (2)若编号为1的球恰好放在1号盒子中,共有多少种不同的放法? (3)若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)共有多少种不同的放法? 答案1.2+4+5=11(种),245=40(种) 2.243.22 提示:一般地n条直线最多将平面分为2+2+3+n=1+1+2+n=(n2+2n+2)部分. 4.C5.D 提示:水平方向上的一类线段共有(6
