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1、8.1 匹配滤波器 8.2 最小差错概率接收准则 8.3 确知信号的最佳接收机 8.4 随相信号的最佳接收机 8.5 最佳接收机性能比较 8.6 最佳基带传输系统,第 8 章 数字信号的最佳接收,返回主目录,第8章 数字信号的最佳接收,8.1匹 配 滤 波 器 在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一， 滤波器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中， 滤波器的作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。 通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的
2、均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。,由第7章分析的数字信号解调过程我们知道，解调器中抽样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效，接收过程等效原理图如图 8 - 1 所示。图中，s(t)为输入数字信号， 信道特性为加性高斯白噪声信道，n(t)为加性高斯白噪声， H()为滤波器传输函数。 由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关，
3、 而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比， 即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信噪比越小，错误判决概率就越大。,图 8 1 数字信号接收等效原理图,因此，为了使错误判决概率尽可能小，就要选择滤波器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器。当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。 分析模型如图 8 - 1 所示。 设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H(), 滤波器输入信号与噪声的合成波为 r(t)=s(t)+n(t) 式中， s(t)为输入
4、数字信号， 其频谱函数为S()。 n(t)为高斯白噪声， 其双边功率谱密度为 。,由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 y(t)=so(t)+no(t) (8.1 - 2) 式中输出信号的频谱函数为So()，其对应的时域信号为 so(t)= ,滤波器输出噪声的平均功率为,在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为 ro= 由式(8.1 - 5)可见， 滤波器输出信噪比ro与输入信号的频谱函数S()和滤波器的传输函数H()有关。在输入信号给定的情况下，输出信噪比ro只与滤波器的传输函数H()有关。使输出信噪比ro达到
5、最大的传输函数H()就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。式(8.1 - 5)是一个泛函求极值的问题，采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。 施瓦兹不等式为,式中， X()和Y()都是实变量的复函数。 当且仅当 X()=KY*() 时式(8.1 - 6)中等式才能成立。式(8.1 - 7)中K为任意常数。 将施瓦兹不等式用于式(8.1 - 5)， 并令 X()=H() (8.1 - 8) Y()=S()ejt0 (8.1 - 9),可得 ro=,根据帕塞瓦尔定理有,式中E为输入信号的能量。 代入式(8.1 - 10)有 ro 式(8.1 - 12)说明，线性滤波器所能给出的
6、最大输出信噪比为 r0max= (8.1 - 13) 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X()=KY*()， 可得不等式(8.1 - 10)中等号成立的条件为 H()=KS*()e-jt0 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*()是输入信号频谱函数S()的复共轭。式(8.1 - 14)就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数，该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比 。,这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jt0外，与信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。 从匹配滤波器传输函数H()所满足的条件，我们也可以得到匹配滤波器的单位冲激响应h(t)：,即匹配滤波器的单位冲激响应为
7、h(t)=Ks(t0-t) 式(8.1 - 16)表明，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。其形成原理如图 8 - 2 所示。 对于因果系统， 匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足: h(t)=,Ks(t0-t), t0 0, t0,为了满足式(8.1 - 17)的条件， 必须有：,图8-2 匹配滤波器单位冲激响应原理,s(t0-t)=0, t0 (8.1 - 18) s(t)=0, t0-t0 或 tt0 (8.1 - 19) 上式条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是
8、说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器， 其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0T。 对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取t0=T。 若输入信号为s(t)， 则匹配滤波器的输出信号为 so(t)=s(t)*h(t)=,式中， R(t)为输入信号s(t)的自相关函数。 上式表明， 匹配滤波器的输出波形是输入信号s(t)的自相关函数的K倍。因此， 匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在t0时刻得到最大输出信噪比romax= 。 由于输出信噪比与常数K无关，所以通常取K=1。 例 8 - 1设输入信号如图
9、 8 - 3(a)所示，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。 ,s(t)= 1, 0t 0, 其他 ,输入信号s(t)的频谱函数为,图8-3 信号时间波形,S()=,匹配滤波器的传输函数为 H()=S*()e-jt0=,匹配滤波器的单位冲激响应为 h(t)=s(t0-t) 取t0=T，则有,h(t)=s(T-t),匹配滤波器的单位冲激响应如图 8 - 3(b)所示。 (2) 由式(8.1 - 21)可得匹配滤波器的输出为 so(t)=R(t-t0)=,其他,=,匹配滤波器的输出波形如图 8 - 3(c)所示。可见，匹配滤波器的输出在t=T时刻得到最大的能量E= 。,8.2 最小差错概
10、率接收准则,8.2.1数字信号接收的统计模型 在数字信号的最佳接收分析中，我们不是采用先给出接收机模型然后分析其性能的分析方法，而是从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。 数字通信系统的统计模型如图 8 - 4 所示。 图中消息空间、 信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消息、 发送信号、噪声、接收信号波形及判决结果的所有可能状态的集合。各个空间的状态用它们的统计特性来描述。 ,图 8 4 数字通信系统的统计模型,在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为 X=x1, x2, , xm (8.2 - 1) 若消
11、息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的出现概率为P(xi)， 则消息X的一维概率分布为,X1 x2 xm P(x1) P(x2) P(xm),根据概率的性质有,若消息各状态x1, x2, , xm出现的概率相等，则有 P(x1)=P(x2)=P(xm)= (8.2 - 3),消息是各种物理量， 本身不能直接在数字通信系统中进行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号s(t)，用参数S来表示。将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息xi与信号si(i=1, 2， ， m)相对应。 这样，信号集合S也由m个状态所组成，即,S
12、=s1, s2, , sm 并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即 P(s1)=P(x1) P(s2)=P(x2) P(sm)=P(xm),同时也有,若消息各状态出现的概率相等， 则有 P(s1)=P(s2)=P(sm)= (8.2 - 6) P(si)是描述信号发送概率的参数，通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数据。 信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性, 在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。噪声n的k维联合概率密度函数为,f
13、(n)=f(n1, n2, , nk) (8.2 - 7) 式中，n1, n2, , nk为噪声n在各时刻的可能取值。 根据随机信号分析理论我们知道，若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的。根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维概率密度函数的乘积，即 f(n1, n2, , nk)=f(n1)f(n2)f(nk),式中， f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数， 若ni的均值为零，
14、方差为2n，则其一维概率密度函数为 ,噪声n的k维联合概率密度函数为,根据帕塞瓦尔定理， 当k很大时有,信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为 y=n+s 由于在一个码元期间T内， 信号集合中各状态s1, s2, , sm 中之一被发送，因此在观察期间T内观察波形为 y(t)=n(t)+si(t) (i=1, 2, , m) 由于n(t)是均值为零， 方差为2n的高斯过程，则当出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为,fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据。 根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作出判决， 判决空间中可
15、能出现的状态r1, r2, , rm与信号空间中的各状态s1, s2, , sm相对应。 ,8.2.2最佳接收准则 在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。这样将会造成错误接收，我们期望错误接收的概率愈小愈好。 在噪声干扰环境中，按照何种方法接收信号才能使得错误概率最小？我们以二进制数字通信系统为例分析其原理。 在二进制数字通信系统中，发送信号只有两种状态，假设发送信号s1(t)和s2(t)的先验概率分别为P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在观察时刻的取值分别为a1和a2，出现s1(t)信号时y(t)的概率密度函数fs1(y)为, fs
