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1、一元二次方程根的判别、根与系数的关系专项训练1.已知关于x的一元二次方程x2(m1)x2m2m=0(m为实数)有两个实数根、(1)当m为何值时,;(2)若 ,求m的值.2. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和(1)求实数的取值范围;(2)当时,求的值3已知抛物线(1)m满足什么条件时,抛物线与x轴有两个的交点;(2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为,且,求m的值.4已知抛物线(k为常数,且k0)(1)证明:此抛物线与x轴总有两个交点;(2)设抛物线与x轴交于M、N两点,若这两点到原点的距离分别为OM、ON,且,求k的值5.已知关于x的方程x2+(2k1)x+(k2)(k+1)=0和kx2
2、+2(k2)x+k3=0.求证:方程总有两个不相等的实数根;已知方程有两个不相等的实数根,求实数k的取值范围;如果方程的两个不相等实数根、的倒数和等于方程的一个根,求k的值.6.已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.(1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数.(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且+=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式.7. 已知一元二次方程的一根为 2 (1)求关于的关系式; (2)求证:抛物线与轴有两个交点; (3)设抛物线的顶点为 M,且与 x 轴相交于A(,0)、B(,0)
3、两点,求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式 8.已知关于x的方程(1)求证:无论k取什么实数,这个方程总有实根;(2)若等腰的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求的周长。答案1.解:(1) =(m1)24(2m2m)=m22m18m24m=9m26m1=(3m1)2 3分要使x1x2 , 0即=(3m1)20 m 5分另解:由x2(m1)x2m2m=0得x1=m,x2=12m要使x1x2,即m12m,m.(2)x1=m,x2=12m,x12x22=2 8分m2(12m)2=2解得. 10分另解: x1x2=(m1) , x1x2=2m2m ,x12x22=2 (x1x2)2
4、2x1x2=2 (m1)22(2m2m)=2 5m24m1=0 m1= , m2=1.2.解:(1)由题意有,2分解得即实数的取值范围是4分(2)由得5分若,即,解得7分,不合题意,舍去8分若,即 ,由(1)知故当时,10分4. (1)证明:= 2分k 0,= 4k2 0 3分此抛物线与x轴总有两个交点 4分(2)解:方程的解为 6分,OM ONk 0,M ,N OM=,ON= 8分,解得,k=2 10分6. 解:(1)令y=0,得:x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-151分当0时,方程有两个不相等的实数根,即-16m-150m-此时,y
5、的图象与x轴有两个交点2分当=0时,方程有两个相等的实数根,即-16m-15=0m=-此时,y的图象与x轴只有一个交点3分当0时,方程没有实数根,即-16m-150m-此时,y的图象与x轴没有交点当m-时,y的图象与x轴有两个交点;当m=-时,y的图象与x轴只有一个交点;当m-时,y的图象与x轴没有交点.4分(评分时,考生未作结论不扣分)(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m2+3m+45分+=(x1+x2)2-2x1x2=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2-10m-76分+=5,2m2-10m-7=5,m2-5m-6=0解得:m1=6,m2=-1m-,m=-1y
6、=x2+3x+27分令x=0,得y=2,二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0,2)又y=x2+3x+2=(x+)2-,顶点M的坐标为(-,-)设过C(0,2)与M(-,-)的直线解析式为y=kx+b解得2=b k=-=k+b,b=2所求的解析式为y=x+28分7. (1)解:由题意,得,即(2 分) (2)证明:一元二次方程的判别式, 由(1)得,(3 分) 一元二次方程有两个不相等的实根(4 分) 抛物线与轴有两个交点(5 分)(3)解:抛物线顶点的坐标为,(6分)是方程的两个根,(7分),(8分)要使最小,只须使最小而由(2)得,所以当时,有最小值4,此时(9分)故抛物线的解析式为(10分)