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1、一、 引例,3 函数的极限,通过上面演示实验的观察:,当x无限增大时,,无限接近于0,二. 函数极限,简记为,几何意义,例2. 证明,例3. 证明,三、函数极限的四则运算,定理3.1若,(1),(这里,为常数)。,(2),(3),定理3.2(局部有界性),则,使得,在,上有界。,四、函数极限的性质,若,定理3.3(局部保号性),则,当,时,有,若,推论3.4 设,则,当,若,则,当,时,,有,若,时,,有,定理3.1的证明(见课本55页) 下面证明 定理3.1(iii),定理3.4,,且,在,上有界(局部有界)。,则,若,定理3.5(局部保序性),则,若,有,定理 3.6 (极限不等式),定理
2、3.7(极限唯一性),定理3.8(夹迫性),若,当,时,定理3.10 (函数极限与数列极限的关系),注:此定理又称海涅(Heine)定理,定理3.10不仅可以用来证明某些函数的极限存在,还可用它来证明某些函数极限不存在.,例4 证明 不存在.,定理3.11 设 在 点附近 有定义,且 ,而 在 点附近 有定义, 且 ,则,例5. 求极限,五、单侧极限,定义,设 在 有定义 ,如 ,对 使当 时,有,记为,则称 C为 在 的右极限,记为,定理 (左、右极限与极限的关系 ),例6.,定理3.12 若 在 上单调上升有上界, 则 存在,证明:Page 60,推论3.5 (1) 在 上单调上升有下界,则 存在; (2) 在 上单调上升,则对任意 ,有 和 都存在(但不一定相等),六种趋势下的极限的表示形式:,例9.,例10.,设,是非负整数,则,六、两个重要极限,1、,证明:,2、,证明:,前章我们已经证明了,由夹迫定理有,证毕。,注:,证明:,