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1、相交线，垂线（基础）知识讲解撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；来源:4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180(2)邻补角
2、是成对出现的，而且是“互为”邻补角(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线.2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3. 邻补角与对顶角对比： 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角； 有一个公共顶点；来源:没有公共边. 对顶角相等.都
3、是两条直线相交而成的角；都有一个公共顶点；都是成对出现的. 有无公共边；两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角两条直线相交而成；有一个公共顶点；有一条公共边. 邻补角互补. 【高清课堂：相交线 403101 两条直线垂直】要点二、垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，
4、可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示
5、唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点诠释：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度来源:【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1如图所示，M、N是直线AB上两点，12，问1与2，3与4是对顶角吗? 1与5
6、，3与6是邻补角吗？【答案与解析】解：1和2，3和4都不是对顶角1与5，3与6也都不是邻补角【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ）【答案】(1) （2） （3） （4） （5），反例：AOC为120，射线OB为AOC的角平分线，AOB与AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O
7、，但它们不是邻补角. 2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，165，求2、3、4的度数【答案与解析】解： 1是2的邻补角，165， 218065115又 1和3是对顶角，2与4是对顶角 3165， 42115【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出2后用 “对顶角相等”，求3和4举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知l与2的度数之比为3:2，求1与2的度数【答案】解：设1与2的度数分别为3x和2x根据题意，得3x+2x180解这个方程得x36，所以3x108，2x72答：这两个角的度数分别是108，723. 任意画两条相交的直线
8、，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；有公共顶点，角的两边互为反向延长线这6对角为1与2，1与3，1与4，2与3，2与4，3与4，其中13，24，1+2180，3+4180，1+4180，2+3180在位置上1与3，2与4是对顶角，1与2，3与4，l与4，2与3是邻补角【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4下列语句中，正确的有 ( )
9、 一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； 两直线相交，则交点叫垂足； 互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角 A0个 B1个 C2个 D3个【答案】C【解析】正确的是：【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是( ).A点P到直线的垂线的长度.B点P到直线的垂线段.来源:C点P到直线的垂线段的长度.D点P到直线的垂线.【答案】C 5. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EOAB于点O，COE55则BOD的度数为 ( ). A40 B45 C30 D35【答案】D【解析】要求BOD，
10、只要求出其对顶角AOC的度数即可为此要寻找AOC与COE的数量关系因为EOAB，所以AOE90，所以AOCAOECOE905535，所以BODAOC35【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.【高清课堂：相交线 403101 经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分BOF, OE CD于点O, AOC=40,则EOF=_.【答案】1306. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因【答案与解析】解：过点C作CDAB，垂足为D所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】 解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条
