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1、相交线,垂线(基础)知识讲解撰稿:孙景艳 审稿: 赵炜【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系,理解邻补角和对顶角概念,掌握对顶角的性质;2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形,掌握垂直的定义及性质;3.理解点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离;来源:4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质,进行简单的计算.【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1邻补角:如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点诠释:(1)邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了数量关系:“邻”指的是位置相邻,“补”指的是两个角的和为180(2)邻补角
2、是成对出现的,而且是“互为”邻补角(3)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角(4)邻补角满足的条件:有公共顶点;有一条公共边,另一边互为反向延长线.2. 对顶角及性质: (1)定义:由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角 (2)性质:对顶角相等要点诠释:(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角(2)对顶角满足的条件:相等的两个角;有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3. 邻补角与对顶角对比: 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角; 有一个公共顶点;来源:没有公共边. 对顶角相等.都
3、是两条直线相交而成的角;都有一个公共顶点;都是成对出现的. 有无公共边;两直线相交时,对顶角只有2对;邻补角有4对. 邻补角两条直线相交而成;有一个公共顶点;有一条公共边. 邻补角互补. 【高清课堂:相交线 403101 两条直线垂直】要点二、垂线1垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足要点诠释:(1)记法:直线a与b垂直,记作:; 直线AB和CD垂直于点O,记作:ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:CDAB2垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,
4、可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点诠释: (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质:(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短简单说成:垂线段最短要点诠释:(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示
5、唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短”实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离:定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离要点诠释:(1) 点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度来源:【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1如图所示,M、N是直线AB上两点,12,问1与2,3与4是对顶角吗? 1与5
6、,3与6是邻补角吗?【答案与解析】解:1和2,3和4都不是对顶角1与5,3与6也都不是邻补角【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角举一反三:【变式】判断正误:(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角. ( )(2)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.( )(3)有一条公共边的两个角是邻补角. ( )(4)如果两个角是邻补角,那么它们一定互补. ( )(5)有一条公共边和公共顶点,且互为补角的两个角是邻补角.( )【答案】(1) (2) (3) (4) (5),反例:AOC为120,射线OB为AOC的角平分线,AOB与AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O
7、,但它们不是邻补角. 2.如图所示,直线AB、CD相交于点O,165,求2、3、4的度数【答案与解析】解: 1是2的邻补角,165, 218065115又 1和3是对顶角,2与4是对顶角 3165, 42115【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中,只要已知其中一个角,就可以求出另外三角;(2)求出2后用 “对顶角相等”,求3和4举一反三:【变式】如图所示,两直线相交,已知l与2的度数之比为3:2,求1与2的度数【答案】解:设1与2的度数分别为3x和2x根据题意,得3x+2x180解这个方程得x36,所以3x108,2x72答:这两个角的度数分别是108,723. 任意画两条相交的直线
8、,在形成的四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系?根据这种位置关系将它们分类【答案与解析】解:如图,任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们的位置关系有两种:有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线;有公共顶点,角的两边互为反向延长线这6对角为1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4,其中13,24,1+2180,3+4180,1+4180,2+3180在位置上1与3,2与4是对顶角,1与2,3与4,l与4,2与3是邻补角【总结升华】两条相交的直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有:4对邻补角,2对对顶角类型二、垂线4下列语句中,正确的有 ( )
9、 一条直线的垂线只有一条;在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直; 两直线相交,则交点叫垂足; 互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角 A0个 B1个 C2个 D3个【答案】C【解析】正确的是:【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三:【变式1】直线外有一点P,则点P到直线的距离是( ).A点P到直线的垂线的长度.B点P到直线的垂线段.来源:C点P到直线的垂线段的长度.D点P到直线的垂线.【答案】C 5. (山东济宁)如图所示,直线AB、CD相交于点O,EOAB于点O,COE55则BOD的度数为 ( ). A40 B45 C30 D35【答案】D【解析】要求BOD,
10、只要求出其对顶角AOC的度数即可为此要寻找AOC与COE的数量关系因为EOAB,所以AOE90,所以AOCAOECOE905535,所以BODAOC35【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据,也可以作为该图形具备的性质.【高清课堂:相交线 403101 经典例题3】举一反三:【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分BOF, OE CD于点O, AOC=40,则EOF=_.【答案】1306. 如图所示,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因【答案与解析】解:过点C作CDAB,垂足为D所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中,垂线段最短【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”,实质上是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就是最熟悉的垂线的性质的应用举一反三:【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线,这样的垂线能画出几条?(2)经过直线上一点A画的垂线,这样的垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画的垂线,这样的垂线能画出几条?【答案】 解:(1)能画无数条;(2)能画一条;(3)能画一条