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1、二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选【例1】（2013抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值考点：二次函数综合题分析：（1）先由直线AB的解析式
2、为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，m22m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据SAEF=SAEG+SAFGSEFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；（3）设P点坐标为（1，n）先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：PBC=90，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据
3、时间=路程速度，即可求出此时对应的t值；BPC=90，同可求出对应的t值；BCP=90，同可求出对应的t值解答：解：（1）y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得，抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，m22m+3），则m0，m22m+30y=x22x+3=（x+1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（1，0），AG=2直线AB的解析式为y
4、=x+3，当x=1时，y=1+3=2，E点坐标为（1，2）SAEF=SAEG+SAFGSEFG=22+2（m2+2m3）2（1m）=m2+3m，以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得m1=，m2=（舍去），当m=时，m22m+3=m23m+m+3=3+m+3=m=，点F的坐标为（，）；（3）设P点坐标为（1，n）B（0，3），C（1，0），BC2=12+32=10分三种情况：如图2，如果PBC=90，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n3）2+10=（1+1）2+（n0）2，化简整理得6n=16，解得n=，P点坐标为（1，），顶点D的坐标为（1，4），PD=4=
5、，点P的速度为每秒1个单位长度，t1=；如图3，如果BPC=90，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n3）2+（1+1）2+（n0）2=10，化简整理得n23n+2=0，解得n=2或1，P点坐标为（1，2）或（1，1），顶点D的坐标为（1，4），PD=42=2或PD=41=3，点P的速度为每秒1个单位长度，t2=2，t3=3；如图4，如果BCP=90，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n0）2=（0+1）2+（n3）2，化简整理得6n=4，解得n=，P点坐标为（1，），顶点D的坐标为（1，4），PD=4+=，点P的速度为每秒1个单位长度，t4=；综上可知，当t为秒
6、或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理综合性较强，难度适中（2）中将AEF的面积表示成SAEG+SAFGSEFG，是解题的关键；（3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键【例2】（2013大连）如图，抛物线y=x2+x4与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点MP是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）分别过
7、点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME （1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明MDE是等腰三角形；（2）MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形AMFBME，得到点M为为RtEDF斜边EF
8、的中点，从而得到MD=ME，问题得证；（2）首先分析，若MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明ADMNEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同解答：解：（1）抛物线解析式为y=x2+x4，令y=0，即x2+x4=0，解得x=1或x=5，A（1，0），B（5，0）如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点FADPC，BEPC，ADBE，MAF=MBE在AMF与BME中，AM
9、FBME（ASA），ME=MF，即点M为RtEDF斜边EF的中点，MD=ME，即MDE是等腰三角形（2）答：能抛物线解析式为y=x2+x4=（x3）2+，对称轴是直线x=3，M（3，0）；令x=0，得y=4，C（0，4）MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：若DEEM，由DEBE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，由DEBE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；若DEDM，与同理可知，此种情况不存在；若EMDM，如答图2所示：设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMN=DMA在ADM与NEM中，ADM
10、NEM（ASA），MN=MA抛物线解析式为y=x2+x4=（x3）2+，故对称轴是直线x=3，M（3，0），MN=MA=2，N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，点N（3，2），C（0，4）在抛物线上，解得k=2，b=4，y=2x4将y=2x4代入抛物线解析式得：2x4=x2+x4，解得：x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x4=3P（，3）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）（3）答：能如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N与（2）同理，可知若MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点MMDME，MAMN，DMN=EMB在DMN与EMB中，DM
11、NEMB（ASA），MN=MBN（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，点N（3，2），C（0，4）在抛物线上，解得k=，b=4，y=x4将y=x4代入抛物线解析式得：x4=x2+x4，解得：x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x4=P（，）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大第（2）（3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证【例3】（2013凉山州）如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）
12、交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax22ax+c，运用待定系数法
13、即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于PFC和AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论：PFCAEM，CFPAEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM的形状解答：解：（1）抛物线y=ax22ax+c（a0）经过点A（3，0），点C（0，4），解得，抛物线的解析式为y=x2+x+
14、4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，A（3，0），点C（0，4），解得，直线AC的解析式为y=x+4点M的横坐标为m，点M在AC上，M点的坐标为（m，m+4），点P的横坐标为m，点P在抛物线y=x2+x+4上，点P的坐标为（m，m2+m+4），PM=PEME=（m2+m+4）（m+4）=m2+4m，即PM=m2+4m（0m3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM=m+4，CF=m，PF=m2+m+44=m2+m若以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似，分两种情况：若PFCAEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2+m）：（3m）=m：（m+4），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AME，AME=CMF
