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1、电子衍射运动学理论电子衍射运动学理论电子衍射运动学理论电子衍射运动学理论 王王 蓉蓉 北京科技大学材料物理系北京科技大学材料物理系 100083 100083 北京北京 内内 容容 ?电子波函数与波动方程电子波函数与波动方程 ?基尔霍夫基尔霍夫( (KirchhoffKirchhoff) )公式、菲涅尔衍射与公式、菲涅尔衍射与 夫琅和费衍射夫琅和费衍射 ?散射理论近似与运动学近似散射理论近似与运动学近似 ?振幅衬度与相位衬度、相位物近似与弱相振幅衬度与相位衬度、相位物近似与弱相 位物近似位物近似 ?散射振幅、消光距离、偏离参量散射振幅、消光距离、偏离参量 ?相位衬度与衍射衬度成像运动学近似间的
2、相位衬度与衍射衬度成像运动学近似间的 关系关系 电子波函数与波动方程电子波函数与波动方程 ?电子波是一种几率波，称为德布罗意波。用电子波是一种几率波，称为德布罗意波。用 波函数来描述电子的一个运动状态，波函数来描述电子的一个运动状态， 用薛定锷用薛定锷( (SchrodingerSchrodinger) ) 方程来描述微观粒方程来描述微观粒 子状态的变化，子状态的变化， 这里，这里，是粒子在外势场中的势能是粒子在外势场中的势能 += h h 2 2 2m Ui t ( )r )(2exp),( 0 rkr=tit k= 1 U( ) r 当电子波是单色平面波时，得到定态薛定锷方程当电子波是单色
3、平面波时，得到定态薛定锷方程 取真空中电子势函数为零，电子波在真空中传播取真空中电子势函数为零，电子波在真空中传播 时波矢量的大小则是时波矢量的大小则是 在用在用描述的静电势中传播的电子波波矢量的描述的静电势中传播的电子波波矢量的 大小是大小是 += 2 2 2 0 me V h ( )r 2 ) 2 ( 2 1 2 0 = h meV k ( ) r k me V=+( ) 2 2 1 2 h r ?研究电子波的运动状态归结到，研究电子波的运动状态归结到，在已知在已知在已知在已知静电静电静电静电 势中，求解定态薛定锷方程势中，求解定态薛定锷方程势中，求解定态薛定锷方程势中，求解定态薛定锷方程
4、。 如果波振幅不随时间变化，有如果波振幅不随时间变化，有 定态波函数解可记为定态波函数解可记为 也是波函数解，它仅是坐标的函数，与时间也是波函数解，它仅是坐标的函数，与时间 无关。无关。 ?问题则又归结为问题则又归结为求解满足定态薛定锷方程的波求解满足定态薛定锷方程的波求解满足定态薛定锷方程的波求解满足定态薛定锷方程的波 函数函数函数函数 电子运动状态也可以用波矢量电子运动状态也可以用波矢量( (或动量或动量) )作为自变作为自变 量来表述，波函数的两种表述量来表述，波函数的两种表述与与是用是用 富里叶富里叶( (Fourier)Fourier)变换相联系的。变换相联系的。 ( ) r 22
5、)(),(rr=t )2exp()(),(titrr= ( ) r ( ) r( )k ( ) r 基尔霍夫基尔霍夫( (KirchhoffKirchhoff) )公式、菲涅尔衍射公式、菲涅尔衍射 与夫琅和费衍射与夫琅和费衍射 ?基尔霍夫公式是惠更斯原理的数学表述。基尔霍夫公式是惠更斯原理的数学表述。 u ikr r gradu u grad ikr r ds p = 1 4 exp() exp( ) 基尔霍夫公式推导所涉及的各矢量的坐标位置 ?考虑单位平面波入射，散射物是用考虑单位平面波入射，散射物是用透射函数透射函数透射函数透射函数描述描述 的平面物的情况，的平面物的情况， 点处观察到的散
6、射总扰动则是：点处观察到的散射总扰动则是：P u i iq X Y ikr r ds p = + 2 1 0 exp() ( , ) exp() (cos )kr 平面波入射下基尔霍夫公式的简化 ?引进菲涅尔近似条件：引进菲涅尔近似条件： ? ? 物面上的尺寸远小于传播距离；物面上的尺寸远小于传播距离； ? ? 入射波波长比物面上尺寸又小得多，散射角很小，即满入射波波长比物面上尺寸又小得多，散射角很小，即满 足小角近似条件。足小角近似条件。 ?将将做二项式展开，忽略高次项：做二项式展开，忽略高次项： rRxXy Y=+()() 222 1 2 rR xXyY R =+ +()() 22 2 菲
7、涅尔衍射的坐标配置 ?得到菲涅尔衍射公式：得到菲涅尔衍射公式： 公式描述的是一种卷积运算，即公式描述的是一种卷积运算，即 其中，其中， 称称为为传播函数传播函数传播函数传播函数( (propagation function) propagation function) ( , , )exp()( , )exp( ()() ) x y R i R iq X Y ik xXy Y R dXdY= + 1 2 0 22 k R ),(),()exp(),( 0 yxpyxqiRyx=Rk ) 2 )( exp( 1 ),( 22 R yxik Ri yxp + = ),(yxp ?透射函数透射函数透
8、射函数透射函数和传播函数和传播函数和传播函数和传播函数是描述是描述 电子波近场传播的基本函数。电子波近场传播的基本函数。 ?卷积运算是处理近场衍射问题，计算菲涅卷积运算是处理近场衍射问题，计算菲涅卷积运算是处理近场衍射问题，计算菲涅卷积运算是处理近场衍射问题，计算菲涅 尔衍射复振幅和强度分布的数学工具尔衍射复振幅和强度分布的数学工具尔衍射复振幅和强度分布的数学工具尔衍射复振幅和强度分布的数学工具。 q X Y(,) ),(yxp ?引进夫琅和费引进夫琅和费远场近远场近远场近远场近 似似似似条件条件: :物面上的尺寸物面上的尺寸 远小于传播距离远小于传播距离 做二项式展开，忽略高做二项式展开，忽
9、略高 次项后得到次项后得到: : rRxyxXyY+ 222 1 2 22 =rxXyY 0 2 1 2 22 rr x r X y r Y= 0 00 夫琅和费衍射坐标配置(a)及衍射空间 与实空间矢量间的关系(b) ( , )(, )exp( ()l mcq X Yik lXmY dXdY= + c ir i=+ 1 2 1 0 0 (cos )exp()k r ( , )( , )exp()u vcq X Yi uXvY dXdY= + 2 ( )( ) exp()uru rr= cqid2 由衍射空间与实空间矢量间的关系 式(1)可以再写为： 或 k u r x l 2 0 = k v
10、 r y m 2 0 = (1) ?经过夫琅和费衍射，观察平面上获得倒易空间经过夫琅和费衍射，观察平面上获得倒易空间 （动量空间）图像，波函数分布是物平面上透射（动量空间）图像，波函数分布是物平面上透射 函数分布函数分布的富里叶变换。的富里叶变换。富里叶变换是处富里叶变换是处富里叶变换是处富里叶变换是处 理远场衍射问题，计算夫琅和费衍射复振幅和强理远场衍射问题，计算夫琅和费衍射复振幅和强理远场衍射问题，计算夫琅和费衍射复振幅和强理远场衍射问题，计算夫琅和费衍射复振幅和强 度分布的数学工具度分布的数学工具度分布的数学工具度分布的数学工具。 q X Y(, ) 衍射的远场夫琅和费衍射条件与近场菲涅
11、尔衍射条件 散射理论近似与运动学近似散射理论近似与运动学近似 ?入射到入射到处的电子波处的电子波，在单位体元上产生，在单位体元上产生 子波子波，对，对位置处的观察点子波贡位置处的观察点子波贡 献为：献为： 式中式中。 G( ,)()() r rrr ( ) r ( )( ) rr r r 2 /2hme= 散射问题的坐标配置 ?为格林函数为格林函数 具有球面波分布形式，表示了波前面上具有球面波分布形式，表示了波前面上 处构造的单位振幅的子波对处构造的单位振幅的子波对处观察点的散射贡处观察点的散射贡 献。献。 G( ,) r r G ik ( , ) exp() r r rr rr = G( ,
12、) r r r r ?散射体对观察点总的散射波贡献则是：散射体对观察点总的散射波贡献则是： 式中，积分是对整个散射体求积分。电子波函数式中，积分是对整个散射体求积分。电子波函数 则可以写为：则可以写为： 这里，这里，是波函数中的未散射部分。是波函数中的未散射部分。 SC Gd( )( ,) ()() rr rrrr= ( )( )( ,)()() ( ) rrr rrrr=+ 0 Gd ( )( ) 0 r ?散射物不是散射面而是散射体，体元上的入射波散射物不是散射面而是散射体，体元上的入射波 函数函数并不简单地等于并不简单地等于，积分很难求解。，积分很难求解。 假若假若散射波远小于入射波场，
13、散射波远小于入射波场，散射波远小于入射波场，散射波远小于入射波场，体元体元体元体元 上的入射波场上的入射波场上的入射波场上的入射波场近似地等于入射波在该体元近似地等于入射波在该体元近似地等于入射波在该体元近似地等于入射波在该体元 处的波场处的波场处的波场处的波场，在整个散射体内各点处入射波在整个散射体内各点处入射波在整个散射体内各点处入射波在整个散射体内各点处入射波 场近似相等，这就是所谓运动学近似场近似相等，这就是所谓运动学近似场近似相等，这就是所谓运动学近似场近似相等，这就是所谓运动学近似，或称，或称单单单单 散射近似散射近似散射近似散射近似、一级一级一级一级BornBornBornBor
14、n近似近似近似近似。这时，。这时， ( ) r ( ) ( ) 0 r SC( ) ( ) ( ) rr II g 相位衬度与衍射衬度成像运动学近相位衬度与衍射衬度成像运动学近 似间的关系似间的关系 ?对于晶体，散射振幅增量为对于晶体，散射振幅增量为 其中其中 )2exp( 0 ikzfdzid S = = = g g iU h me V kf )2exp()( 2 )( )( 2 2 rgr r r ?当入射波为单位当入射波为单位1 1时，衍射振幅增量是时，衍射振幅增量是 考虑到考虑到 ， dziUid ggg )(2exp(rkk= g B g U K cos = dzi i d g g
15、g )(2exp(rkk= )exp( sin ist s tsi g g = ?同时有同时有 和和 可以看出可以看出与与之间的等价关系。之间的等价关系。 当晶体对所有的衍射均满足条件当晶体对所有的衍射均满足条件时，则同时，则同 时满足相位物近似和弱相位物近似。时满足相位物近似和弱相位物近似。 dzid S )(r= ),(1),(yxiyx+= )(r g 1 g t ?对于衍射衬度成像，运动学近似成立的判对于衍射衬度成像，运动学近似成立的判 据一般选择据一般选择； 对于相位衬度成像，运动学近似成立的判据对于相位衬度成像，运动学近似成立的判据 约为约为0.40.4。 的单位是的单位是（voltvolt - -1 1 nmnm - -1 1 ）； 10/ g t t ?运动学理论对复杂的衍射问题做了简化处运动学理论对复杂的衍射问题做了简化处 理，提供了简明的解释晶体和晶体缺陷衍理，提供了简明的解释晶体和晶体缺陷衍 射衬度像和相位
