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1、第一章第一章第一章第一章振动学基础振动学基础振动学基础振动学基础 振动现象在自然界中普遍存在，如活塞的运动、振动现象在自然界中普遍存在，如活塞的运动、 单摆的运动、动物心脏的跳动、声带发音等等。单摆的运动、动物心脏的跳动、声带发音等等。 另外还有一些不可见的振动，如原子的振动、交变另外还有一些不可见的振动，如原子的振动、交变 电流、核振动等等。电流、核振动等等。 机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 其最大的特点是：具有其最大的特点是：具有 周期性周期性。 4-1-1简谐振动的基本概念简谐振动的基本概念 简谐振动简谐振动：一个作往复运动的
2、物体，如果其偏离平衡：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡 位置的位移位置的位移x（或角位移（或角位移）随时间）随时间t 按余按余 弦弦(或正弦或正弦)规律变化的振动。运动方程的规律变化的振动。运动方程的 1、弹簧振子模型、弹簧振子模型 弹簧弹簧振子振子：轻弹簧轻弹簧质量忽略质量忽略 不不计计 物体物体可可看看作作为质为质点点 )tcos(Ax+=数学表达式为数学表达式为 ： 一、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征 o 平衡位置：平衡位置： 弹簧处于弹簧处于 自然自然状态状态的的稳稳定位置定位置 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 mk
3、 o x kxF= 2 2 dt xd mkx= m k = 2 简谐振动简谐振动 微分微分方程方程0 2 2 2 =+x dt xd 0 2 2 2 =+ dt d 结论结论：单摆在：单摆在 小小角角度度的的情况下情况下，摆动是一简谐振动。，摆动是一简谐振动。 当当时时sin =sinmglM 2、单摆的简谐近、单摆的简谐近 似似 mg f T C O = mgl dt d ml 2 2 2 摆摆球对球对C 点的点的力矩力矩 l/g= 2 角角频率频率,振动的周期振动的周期 分别为分别为： =mglM g l T l g = =2 2 二、简谐振动的运动学特征二、简谐振动的运动学特征 其其通
4、解为通解为： 1、简谐振动的运动、简谐振动的运动 学学方程方程 )tcos(Ax += 简谐振动的简谐振动的 微分微分方程方程 上式称为上式称为 简谐振动的运动简谐振动的运动 学学方程方程 0 2 2 2 =+x dt xd 2、描述描述简谐振动的特简谐振动的特 征量征量 (1)振振幅幅A：物体离物体离开开平衡位置最大位移的平衡位置最大位移的 绝对值绝对值。 频率频率：单位时间：单位时间 内内振动的振动的次数次数。 对弹簧对弹簧振子：振子： T/1= 圆频率圆频率：=22T/ k m T=2 m k = 2 1 m k = 周期周期T：物体：物体完成完成一一次全次全振动振动所需所需时间。时间。
5、 =/T2 对对单摆单摆： g l T=2 l g = 2 1 l g = (2)周期周期T ，频率频率，圆频率圆频率 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 (3) 位位相和初相和初位位相相 为位相，决定谐振动物体的运动 状态为位相，决定谐振动物体的运动 状态 +t 是是t=0 时刻的位相时刻的位相初位相初位相 )tcos(Ax+= 简谐振动的方程 式简谐振动的方程 式中中 位相可以用来比较两振动同步情况。设有两振动位相可以用来比较两振动同步情况。设有两振动 )tcos(Ax 111 += )tcos(Ax 222 += ()() 1212 =+=
6、tt 称为两振动的位 相差称为两振动的位 相差 当当= 2k，k = 0, 1, 2 当当= (2k+1), k=0, 1, 2 0 2超前于超前于1或或1滞后于滞后于2。 。 位相差反映了两 个振动不 同程度的参差错落位相差反映了两 个振动不 同程度的参差错落 两振动步调相同两振动步调相同 ,称为称为同相同相。 两振动步调相反两振动步调相反 ,称为称为反相反相。 )(+=tcosAx (1)简谐振动的运动方程：简谐振动的运动方程： (2)简谐振动的 速度方程：简谐振动的 速度方程： )(+=tsinA dt dx v (3)简谐振动的简谐振动的 加速度加速度方程：方程： )(+=tcosA
7、dt dv a 2 3、简谐振动的、简谐振动的 曲线曲线 简谐振动的运动简谐振动的运动 学学特特征征特特征曲线征曲线有有三条三条，即即 简谐振动的位移、简谐振动的位移、 速度及加速度曲线速度及加速度曲线 v a v a x x t o 简谐振动的位移、简谐振动的位移、 速度及加速度速度及加速度 随时间周期性变化。随时间周期性变化。 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 00 0vv,xx,t= 已知初始条件已知初始条件 ： = sinA v0 2 0 2 0 )( += v xA 0 0 x v tg = 4、初始条件初始条件的的应用应用 =sin
8、Av0=cosAx0则则有有 可可以解以解出出： 表表面与水面面与水面平平齐齐。 现现用用外外力力将木块压入水将木块压入水 中，中，使木快使木快上上 例例1、水面水面上上浮浮有一方有一方形木块形木块，在，在静止静止时时水面水面以上以上高高 不不计计水水的的阻阻力力。 度为度为a, 水面水面以下以下高高度为度为b。水密水密度为度为木块密木块密度为度为 b a 求证求证：木块将木块将作谐振动，作谐振动， 并写出并写出谐振动方程。谐振动方程。 任意任意位置位置木块受到木块受到的的合合外外力为力为： 合合外外力和力和位移位移成成正正比比,方方向向和和位移位移相反相反,木块木块作谐振动作谐振动 平平 衡
9、衡 位位 置置 b c a . 0 x s y 平衡时：平衡时： 任任 意意 位位 置置 a c b 0 x x s y . 0= +gbsgsba)( +=gsxbgsbaF)()( gx s = 由由上上面得到面得到： 由牛顿由牛顿定律定律 gxsF = 2 2 dt xd sbagxs+= )( 0 2 2 = + +x ba g dt xd )(+ = )(ba g 0=t ax = 0 0 0 =v aA= 0= t ba g cosax )( + = P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 例例2、已知振动表达式为、已知振动表达式为) 4
10、 t2cos(+=x，其中，其中 x 以以cm为为单位，单位，t以以秒秒为为单位，单位，试绘出试绘出tx曲线曲线图图。 解解：方：方法法一一(最最常常用用的方的方法法)： 先算出先算出简谐振动的周期：简谐振动的周期： )s(T1 2 = = 再选再选一些特一些特殊殊的点的点(如如)LL),( 8 3 ),( 8 1 , 0 sst = 绘出绘出振动的振动的曲线曲线图图。 这种这种方方法绘法绘点点较较多多，用用时时也多也多。 方方法二法二：先画先画振动振动曲线曲线,然然后后将轴右将轴右移移t2cos=x )( 8 1 )2/ 4 (sTt= 即即可。可。 x 例例3、弹簧下弹簧下端挂端挂一物体一
11、物体后后，弹簧弹簧伸长伸长量为量为m 2 108.9 若令若令物体物体上下上下振动，振动，(1)求求振动的周期振动的周期 ; (2)使使其在平衡其在平衡 位置位置上上方方0.1m处处由静止由静止开始开始振动，振动，求求振振幅幅、初相及初相及振动振动 方程方程; (3)使使其在平衡位置其在平衡位置 以以0.8m /s 向向上上的的初速度开始初速度开始 运动，运动，求求振振幅幅、初相及初相及振动方程。振动方程。 解解:(1)在平衡位置在平衡位置 重重力力与与弹力弹力大大小相小相等，等，则则有：有： lkmg= , 可可以以求得求得 l g m k = 所以所以振动的振动的圆频率为圆频率为 ： ()
12、srad l g m k /10 01.08 .9 8.9 = = = 周期：周期：( )sT628.0 5 2 = (2)以以平衡位置平衡位置为为坐标坐标原点，原点，取竖直向取竖直向上为上为x轴轴正正向向， 物体物体开始开始运动时运动时为计为计时时起起点。点。 mx v xA1 . 0 0 2 2 02 0 =+= 则则振振幅为幅为： 0,1 . 0 , 0 00 =vmxt由由初始条件初始条件 ： 0, 0sin, 1cos 0 = A x 由由于于 ( )mtx10cos1 . 0=振动方程振动方程 为为: P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建 (3)由题意有由题意有smvxt/8 . 0 , 0 , 0 00 = m vv xA08 . 0 10 8 . 0 0 2 2 02 0 =+= 2 3 , 1sin, 0cos 00 = A v A x ( )mtx += 2 3 10cos108 2 振动方程振动方程 : 作作业业10：291、2、4、5 下次下次课课的的主要主要内内容容如如下下，请预习请预习： 简振简振矢矢量表量表示法示法、振动、振动能能量量。 P D F 文件使用 “ p d f F a c t o r y “ 试用版本创建
