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1、第一章 随机过程的概念与基本类型,随机过程的定义和统计描述 随机过程分布律和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型,自然界事物的变化过程分为两大类： （1）具有确定形式的过程，可以用一个时间t的确定函数来描述。 （2）另外一种过程没有确定的变化形式，不能用一个时间 t的确定函数来描述。 例如：液面上的质点的运动。用x(t),y(t)表示t时刻该质点在液面上的坐标。,随机变量,在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。,在实际应用中，我们经常要涉及到在随机试验过程中随时间t而改变的随机变量。此时，这种随机现象是个“过程”。 随机过程也是有规律的，如何描述一个随机过程？,
2、电话交换台接入呼叫次数问题,某电话交换台在一定时间段内 0，t 内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量，记为Z(t)；对于固定的时刻t， Z(t)是一个取非负整数的随机变量，故 Z(t), t 0,)是一个随机过程。 对于一个固定的时刻t,Z(t)是一个随机变量。,随机过程,天气预报问题 每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于确定的一天（假设t=1，代表第一天），天气状况是一个离散型的随机变量，记为Zt，所以，每天的天气状况Zt ，t=1,2,3是一个随机过程。 对于一个固定的时刻t, Zt是一个随机变量,对于一个固定的时刻t,电阻的噪声电压X(t)是一个随机变量， X(t)是随时间变化的， 所
3、以噪声电压X(t)， t 0,)是一个随机过程。,电阻的噪声电压,对于一个固定的时刻t, Xt是一个随机变量,我们必须对一些随机现象的变化过程进行研究，必须考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，我们必须用一族随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律。我们通常将这族随机变量称为随机过程。,定义1,设E是随机实验，= e 是样本空间，T是给定的参数集，若对每个固定的时刻tT，X(t,e)或者X(t)都是一个随机变量，则称随机变量族X(t,e),t T是一个随机过程。简记为X(t)。,在第Wi次试验中测量获得的噪声电压X(t)是一个样本函数,设E是随机实验， = e 是样本空间，对于每一个样本e，总
4、可以以某种规则确定一个时间函数X(t,e) (称为样本函数或者轨道），t T，则对于所有的e ，就得到一个函数的集合，称此集合为随机过程，简记为X(t),定义2,随机过程X(t,e),t T可以认为是定义在T 上的一个二元函数。 对固定的t，X(t,e)是一个随机变量; 对固定的e， X(t,e)是随机过程X(t,e),t T 的一个样本函数（轨道）。即定义在T上的普通函数; 对于固定的e 和t， X(t,e)是一个标量，它表示时刻t所处的状态。X(t )所有可能的状态构成的集合称为状态空间; 当t和e都是变量时， X(t,e)是一个随机变量族或者时间函数族(称为随机过程）。,判断以下现象是否
5、是一个随机过程？ （1）示波器产生的余弦波X(t)=acos(wt+B),其中，a,w为常量，B为初始相位，并为（0，2）上均匀分布的随机变量。 (2) 正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V为在(0,1)分布的随机变量. 并画出X(t)的一个样本函数.,通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。,在时间和状态上都连续,连续型随机过程,在时间上连续， 状态上离散,离散型随机过程,在时间上离散， 状态上连续,连续型随机序列,在时间上离散， 状态上离散,离散型随机序列,有限个随机变量,统计规律,联合分布函数,随机过程,统计规律,有限维分布函数族,随机过程的一维分布函数
6、：,提示:,随机过程的二维分布函数：,有限个随机变量,统计规律,联合分布函数,随机过程,统计规律,有限维分布函数族,设XT=X(t),tT是随机过程，对任意n1和t1,t2, ,tn T，随机向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的n维联合分布函数为:,称为随机过程X(t)的n维分布函数.,n维概率密度函数为:,这些分布函数的全体,称为XT=Xt,t T的有限维分布函数族。,有限维分布函数的性质,对于t1,t2, ,tn的任意排列,当mn时，,对称性,相容性,有限维分布函数族,对称性,相容性,Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫）,设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族
7、F，则必存在概率空间（,F,P）及定义在其上的随机过程X(t),tT，它的有限维分布函数族是F。,随机过程,设XT=X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数,为XT的数学期望，反映随机过程在时刻t的平均值。,数字特征,均方值和方差,反映随机过程t时刻平均功率,反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度,自相关函数,若对任意tT，E(X(t)2存在，则称XT为二阶矩过程，而称,为XT的协方差函数(混合中心矩)，反映随机过程在时刻t和s时的状态起伏值的线性相关程度。,协方差函数,协方差函数和相关函数有如下关系：,例题2.5: 设随机过程,其中，Y和Z是相互独立的随机变量，且EY
8、=EZ0，DY=DZ=2，求X(t)的均值函数和协方差函数。,课堂练习： 设随机过程X(t)=Vcos4t，其中V是随机变量，其数学期望是5，方差为6，求随机过程X(t)的均值Mx(t)、方差Dx(t)、相关函数RX(t1,t2)和协方差函数Bx (t1,t2),两个随机过程之间的关系,互协方差函数,互相关函数,定义： 设X(t),tT，Y(t), tT是两个二阶矩过程，则称,为X(t),tT与Y(t), tT的互协方差函数，称,为X(t),tT与Y(t), tT的互相关函数。,两个随机过程X(t),tT与Y(t), tT的互不相关定义,互协方差函数与互相关函数之间的关系,例题2.8： 设X(
9、t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。,当两个随机过程互不相关且均值函数为零时:,例题: 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。,复随机过程,定义： 设Xt, tT，Yt, tT是取实数值的两个随机过程，若对任意tT,其中 ，则称Zt, tT为复随机过程。,复随机过程的数字特征函数,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,相互之间的关系,两个复随机过程Xt，Yt的互相关函数定义为,复随机过程互协方差函数定义为,随机过程的几种基本类型,正交增量过程 独立增量过程 马
10、尔可夫过程 正态过程 维纳过程 平稳过程,定义： 设X(t),tT是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2t3t4 T，有,则称X(t)是正交增量过程。,正交增量过程,例题 设X(t),tT是正交增量过程，T=a,b为有限区间，且规定X(a)=0，当astb时，求其协方差函数BX(s,t)。 结论: 正交增量过程的协方差可以由它的方差确定.,定义： 设X(t),tT是随机过程，若对任意的正整数n和t1t2tn T，随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相独立的，则称X(t),tT是独立增量过程。,独立增量过程,特点： 独立增量过程在任一个时间
11、间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。,例如：电话交换台0，t时间内接受到的电话呼叫数量。 服务系统（例如商场）在 0，t时间内的顾客数。,互不相关,相互独立,二阶矩存在，均值函数恒为零,独立增量过程,正交增量过程,正交增量过程,独立增量过程,正交增量过程,独立增量过程,定义： 设X(t),tT是独立增量过程，若对任意st，随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称X(t),tT是平稳独立增量过程。,平稳独立增量过程,例题2.10 考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段0,t内更换设备的
12、件数，通常可以认为N(t)，t0是平稳独立增量过程。,平稳独立增量过程,定义： 设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数n及t10，且其条件分布,则称X(t),tT是马尔可夫过程。,马尔可夫过程,马尔可夫性,系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处的状态无关。 例如:天气预报 随机游动,马尔可夫过程,定义： 设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是n维正态随机变量，则称X(t),tT是正态过程或高斯过程。,正态过程,特点： 在通信中应用广泛；（中心极限定理） 只要n充分大，x1,x2,xn之和近似正态分
13、布. 例如：高斯白噪声; 一个城市某个时刻的总耗 电量；实验的测量误差。 2.正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维分布。,正态过程,一维正态随机变量的概念： 一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为,记为 特征函数为:,二维正态随机变量的概念： 若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为,则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为,因此其边际分布为一维正态分布 ，,二维正态随机变量的联合密度也可表示为,其中,n维正态随机变量的定义： 若n维随机变量的联合密度函数为,则称 为n维正态随机变量，其中C为
14、n维实对称正定阵。记为,定义： 设W(t),-0 则称W(t),-t 为维纳过程，也称布朗运动过程。,维纳过程是正态过程的一种特殊形式,维纳过程,定义： 设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数和正整数n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或狭义平稳过程。,平稳过程,定义： 设X(t),tT是随机过程，如果 X(t),tT是二阶矩过程； 对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数； 对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)则称X(t),tT为宽平稳过程或者广义平稳过程，简称为平稳过程。,平稳过程,二阶矩存在,对于正态过程，宽平稳过程和严平稳过程是等价的。,宽平稳过程,宽平稳过程,严平稳过程,严平稳过程,作业：习题二 2.2，2.4，2.7，2.14,（1）示波器产生的余弦波X(t)=Acos(wt+),其中，A,w为常量， 为初始相位，并为（- ，）上均匀分布的随机变量,求随机过程的一维概率密度函数。,课堂练习,
