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1、,我们把研究关于“两点之间，线段最短” “垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.,新 课 引 入,第十三章 轴对称,13.4课题学习 最短路径问题,问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,l,当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短.,l,（1）
2、这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,如图，作点B关于直线 l 的对称点B . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？,在连接AB两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.,在直线 l 上任取另一点C 连接AC 、BC 、B C 由轴对称的性质得： BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB AC+BC=AC+BC 在ABC中， AB AC+BC AC+BC AC+BC 即AC+BC最小,l,证明：如图.,问题1 归纳,1.如图
3、，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）,D,尝试应用：,2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.,1000,4、如图所示，M、N是ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使PMN的周长最小。,问题2,（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸
4、是平行的直线.）,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,分析：,如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解：,另任意造桥
5、MN， 连接AM、BN、AN.,由平移的性质得， AMAN，AMAN， AAMNM N.,AM+MN+BNAN+AA+BN=AA+AB， AM+MN+BNAN+AA+BN=AA+AN+BN.,在ANB中，ABAN+BN ，,AM+MN+BNAM +MN +BN . 即桥造在MN处，AM+MN+BN最短.,证明：,a,b,问题2 归纳,小结归纳,转化,轴对称 变换,平移 变换,两点之间，线段最短.,总结归纳：,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题两点之间，线段最短。从而作出最短路径的选择。,拓展,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在 MON
6、的两边OM，ON上各取一点B，C， 组成三角形，使三角形周长最小.,B,C,D,E,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在 MON的两边OM，ON上各取一点B，C， 组成三角形，使三角形周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求。,拓展,问题：AB是锐角MON内部任意一条线 段，在MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。（如图所示）,解题过程,拓展,解：作A关于OM的对应点E，再作B关 于ON的对应点F，连接EF即可。如图。四边形ABCD便是周长最小的。,归纳总结,本节课你有什么收获？,学习了利用轴对称变换、平移变换解决最短路径问题,感悟和体会转化的思想,
