数学教育中的哲学

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1、第五讲：数学教育中的哲学,肖海军 中国地质大学数学与物理学院,两千多年来，数学一直处在绝对主义范式的统治 下，这种认识范式视数学本体上是不可误的、数学是客 观真理、且数学远离人类事务和价值。,当今越来越多的哲学家和数学家对此提出了异议， 如Laktaos(1976)、Davis与Hersh(1980)、Tymoczko (1986),他们认为数学是可误的，像其它知识一样，数 学是人类创造的产物。,一、引言,导致人类根本没有可靠的结论；,放弃数学与生俱来的伪安全性；,若数学是不可误的客观知识，则数学不必承担任 何社会责任；,若数学是可误的社会建构，则数学就是一个探究 和认识的过程，是人类不断创造

2、和发明的广阔天地， 是不会终结的产物。,这一变化的意义（放弃数学的可靠性）：,数学教学的目的应包括使学生获得自我创造数学 知识的能力；,数学至少在学校要更新形式，以便所有社会群体 易于接受其概念，并容易得到由它带来的财富和权 利；,再不可理所当然地把数学活动及其应用的涵义置之 一边，而对数学的潜在价值作出深入的分析。,如此动态的数学观对教育的影响举足轻重：,学习的本质：数学学习理论的基础由哪些哲学假说或 可能隐含的假说所构成？应采纳何种认识论和学习论？,教育目的：数学教育的目的是什么？谁提出的目的？ 为谁提出的目的？建立在什么价值标准上的目的？这 个目的使谁受益，谁受损？,数学的本质：数学教学

3、依据什么哲学假说或可能的 隐含假说？这些假说可靠吗？为达到数学教育目的 应采取何种方法？这些方法和目的一致吗？,教学领域与数学观相联系的一些基本问题：,事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根 本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也 如此。（Thom,1971）,问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数 学到底是什么。如果不正视数学的本质问题，便 解决不了关于教学上的争议。（Hersh,1979）,教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的 典型方式存在着一致性，这有力说明了教师的数学观、 数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。,教学领域与数学观相联系的一些基本问题：,数学哲

4、学是哲学的一个分支。它的任务是反思 并解释数学的本质。,数学知识是由具有证明的一组命题所构成的， 由于数学证明仅依据推理而不求助于经验材料， 因此认为数学知识是所有知识中最为可靠的知识。,数学哲学传统上把自己的任务看作为数学知识的 可靠性提供基础，即构建一个系统。在这系统中能够 编排数学知识从而能系统地建立起数学的真理性。,二、绝对主义观和可误主义观,数学哲学的任务是为数学知识，也可以说是为了 数学真理奠定一个系统的并且绝对可靠的基础。这个 假设是基础主义的依据，也就是这样一个信条：数学 哲学的作用是否为数学知识奠定可靠的基础。,基础主义与数学知识的绝对观密切相关，因为基 础主义把验证数学知识

5、的绝对性这一任务视为数学哲 学的中心任务。,这样做取决于或明或暗地广泛承认的下列假设：,传统上，数学知识一直作为可靠知识的范式。Newton 的原理和Spinozn的伦理学都采用了Euclid的几 何原本的形式（公理化思想）。长期以来，数学一直作 为人类所知的最可靠知识的源泉。,知识的本质是什么？,其哲学标准答案是，知识是已判定为合理的信念。,更准确地说，命题型知识由得到承认（即得到相 信）的命题所组成，并有充分根据判定这些命题。,1.数学知识的本质,知识可以按照对它进行论证的依据进行分类。先验 知识由仅仅根据推理而判定的那些命题所组成，而不依 赖于对现实世界的观察。,数学知识属于先验知识，因

6、为它只由基于推理而断 定的命题所组成。,推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定 的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。因此 数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由 演绎证明所组成的。,1.数学知识的本质,数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据， 是由演绎证明所组成的。,在证明中往往用到两种类型的假设：数学的和逻 辑的。,逻辑假设即推理规则（整个证明理论的一部分） 和逻辑句法，被认为是逻辑的基本组成部分，也是推 理运用过程的组成部分。因此我们认为，逻辑毫无疑 问是知识判定的依据。,数学假设即数学公理或公设，是数学证明依赖的 数学基础 。,1.数学知识的本质,数学假设的合

7、理性又由谁来保证呢？,事实上，非欧几何证明了，Euclid公理和平行公设 被人们不再看作是基本的或无可争辩的真理，不再认为 任何这种真理之一遭否定或拒绝时都会引起矛盾。现代 数学知识包括了很多依赖于公理系假设的分支学科，而 这些公理不可看作为基本的普遍真理，如群论公理或集 合论公理。,1.数学知识的本质,公理化简介,公理化方法的涵义 从最少的不加定义的原始概念和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发，运用逻辑规则推导出其余命题和定理，直至建立整个理论体系逻辑演绎方法 几何学、牛顿力学、狭义相对论、群论 公理化方法的条件 无矛盾性：整个体系是协调的、相容的 独立性：每个公理是独立的，公理的总数

8、降至最低 完备性：整个体系是完备的，增加任何新的元素都是不必要的,绝对主义数学观：,认为数学真理是绝对可靠的,数学 是一种而且也许是唯一的一种确定的、 不容置疑的客观知识领域。,2.数学知识的绝对主义观,断定数学（和逻辑）提供绝对可靠知识-即真理的依据如下：,首先，证明中的基本陈述视其为真，数学公 理假定为真，以便这样考虑使系统得到发展，数 学定义令其为真，逻辑公理认其为真。,其次，逻辑推理规则保持着真理性，即只承 认由真理推导出来真理。,演绎法为数学知识的断定提供了保证。,这种数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设 基础上：涉及公理和定义假设的数学假设，以及涉及公 理假设、推理规则和形式语

9、言及其句法的逻辑假设。,罗素悖论,Russel通过定义“不是自身的一个元素”这一特性， 提出了这个悖论。Frege规则允许这一特性的外延作为 一个集合。但这样一来，这个集合是自身的一个元素 当且仅当它不是自身的一个元素，这就是一个矛盾。,演绎法为数学知识的断定提供了保证。,这些矛盾的发现自然对数学知识的绝对主义观是潜在的致命威胁。,如果数学是可靠的，则它的所有定理都是可靠的，那么它的理论怎么会出现矛盾呢？,既然这虚张声势矛盾的出现并无错误，那么必定在数学基础中出现了问题。,这些危机带来的结果是，数学哲学的一些学派发展起来，其目的是解释数学知识的本质并重建它们的可靠性。三大学派分别是逻辑主义、形

10、式主义、构造主义（直觉主义）。,演绎法为数学知识的断定提供了保证。,逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的思想学派。,主要倡导者有Leibniz、Frege、Russel等人。,Russel的观点最为显明。主要有两个论点： （1）所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念； （2）所有数学真理都可以由公理和逻辑推演规则得到证明。,A逻辑主义,逻辑主义的发展简介,逻辑主义创始人：德国的Leibniz（16461716，形式系统）。17世纪，Leibniz提出建立形式语言、推理方法的思想，以解决数学证明等问题的一致性问题。 德国的Frege（18481925，量词符号）1887年，Frege出版了数论

11、基础，成功的实现了Leibniz的思想。 英国的Russel（1872-1970，罗素悖论）1903年，Russel提出集合论悖论，产生数学的第三次危机,Russel等人（1910-1913）用一系列的定义确立了上 述第一论点，但是在第二点上失败了。数学需要非逻辑 公理如无穷公理（所有自然数的集合都是无穷的）和选 择公理。,因此不是所有的数学定理（真理）都能单纯从逻辑 公理导出。许多重要的数学公理确实是独立的，并且无 论采用这些公理还是否定这些公理都不会引起矛盾。,后来逻辑主义想了许多方法来改进，但后来都失败 了，因此把数学知识的确定性归结为逻辑的确定性这一 逻辑主义纲领已在原则上失败了。逻辑

12、不能为数学知识 提供可靠的基础。,逻辑主义的发展简介,通俗地说，形式主义是如下观点：数学是按规则在 纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏。,Hilbert的形式主义纲领旨在把数学转化为不予解 释的形式系统。,Hilbert借助一种有限制、然而有意义的元数学，通过导出所有数学真理的形式的对应产物来说明他的形式系 统适合于数学，并通过相容性证明：该形式系统对数学是可靠的。,B形式主义,但Godel的不完全理论（1931）证明了这是一个 无法实现的纲领。,其第一个定理证明了甚至不是所有算术定理都由能 Peano公理（或任意一个更大的递归公理系统）导 出。,第二个定理证明了对所要研究的系统而言，证明

13、其相容性需要比维持系统的“自我完善”更强的元数学， 所以也就根本无所谓系统的“自我完整”可言。(形式系 统无法保证自身的可靠性),B形式主义,构造主义纲领是数学知识的一种重建（数学活动的 改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。,最著名的构造主义者是直觉主义者Brouwer.,持构造主义观点的数学家的共同观点是，经典数学 或许靠不住，需要用“构造”的方法和推理重建数学。,他们主张数学真理和数学对象的存在性这两者都必 须由构造的方法加以确定。这即是说，证实真理性和存 在性，就需要数学地加以改造。这和利用矛盾加以证明 的反证法相对立（他们也不承认逻辑上的排中律）。,C构造主义,对于构造主义者来说，

14、知识必须通过构造主义逻辑 的构造性证明加以确立。,数学术语或对象的意义应通过这一形式过程，使 得数学术语或对象得以构造出来。,直觉主义是构造主义的代表。其不仅无法解释非构 造性经典数学的实质，而且否定它的有效性。既没有证 实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典 数学的非协调性和非真实性。事实上，其纲领提出后， 经典的纯粹和应用数学的走势越来越强，因此直觉主义 遭到人们的拒绝。,C构造主义,可误主义观：数学真理是可误的且是可以纠正的， 决不能把数学知识看作是不能纠正或更改的真理。,反面的表达形式： 数学知识不是绝对真理，它没有绝对有效性。,正面的表达形式： 数学知识中可纠正的且永远要接

15、受更正。,其代表人物是Lakatos。,3可误主义观,上面我们是在这样的假设下进行思考的：数学知识是 一组附有证明的命题形式的真理，而数学哲学的功能就是 建立这种知识的可靠性。当我们发现这一假设站不住脚时， 就不得不重新考虑数学哲学的本质。,什么是数学哲学的功能和范围呢？,数学哲学不应仅考虑其“内在问题”，而应把数学放在 人类思想和人类历史的大背景中来考虑。数学哲学应该全 面考虑人类创造知识的环境和数学的历史根源。,如果认识论仅注重单一静态的知识形式，而忽略知识 发展的动态，那么它就不能恰当地解释知识。,三、 数学哲学的重新认识,绝对主义观：注重终结的或展现了的知识，以及知识的基础和判定； 把

16、知识看作一种客观成果的知识，常根本否定涉及知识 发生的哲学合理性，并把知识发生问题推给心理学和社 会科学（构造主义除外）。,可误主义观：注重知识发生和人类对创造知识的贡献； 能认识到出错在数学中的作用。,绝对主义观和可误主义观比较,数学（连同逻辑）占有作为唯一可靠知识领域的地 位，数学只依赖严格的证明，同时还否认数学与历史、 知识发生以及人类环境条件相关的内在联系，这一切助长了把数学当作单独的分离学科的观点。,可误主义观 ：,可误主义把更多的内容纳入了数学哲学的范围。由于数学是可误的，因此认为数学绝不能与物理学及其他科学的经验（因而是可误的）知识相分离。,可误主义注重数学知识的发生及结果，从而把数学 看作是历史及人类实践的组成部分。数学不能脱离人类学和社会科学，或者一般地看作人类文化的一部分。数学与人类的整体知识结构相关，是其不可分割的一部分。,绝对主义观 ：,绝对主义观 ：,数学是客观存在，无所谓价值，仅涉及数学本身的 内在逻辑。仅从数学内部考虑问题，因此把数学当作是 客观的、绝对超道德的人性价值的