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1、图论及其算法,吴闻,第一章 基本概念,1.1 引言 1.2 图的定义 1.3 道路和回路 1.4 树,1.1 引言,图论是一个应用十分广泛而又极其有趣的数学分支。物理、化学、生物、科学管理、计算机等各个领域都可找到图论的足迹。 介绍几个图论有关的简单例子,1.1 引言,例1 下图是一个公路网，V1 ,V2,.,V10是一些城镇，每条线旁边的数字代表这一段公路的长度。现在问，要从V1把货物运到V10，走哪条路最近?,1.1 引言,例1实际上，就是图论中的求最短路径问题。在现实中有很多此类问题，所以图论中求最短路径算法是一个非常经典和重要的算法。,1.1 引言,例2 下图是一个公路网，V1 ,V2
2、,.,V10看成公路网的一个站点，若这个公路网目前被敌方占领。请分析一下，最少需要破坏其公路网的几个站点，就可摧毁敌方整个运输线,1.1 引言,例2属于图的连通性问题。找出图中的割顶集，就是问题的解。军事指挥中很多此类问题。,1.1 引言,例3 飞行大队有若干个来自各地的驾驶员，专门驾驶一种型号的飞机，这种飞机每架有两个驾驶员。由于种种原因，例如相互配合的间题，有些驾驶员不能在同一架飞机上飞行，问如何搭配驾驶员，才能使出航的飞机最多。,1.1 引言,例3 用V1 ,V2,.,V10代表这10个驾驶员。如果两个人可以同机飞行，就在代表他们两个之间连一条线;两个人不能同机飞行，就不连。例如V1和V
3、2可以同机飞行，而V1和V 3就不行。,1.1 引言,例3此类问题属于图的最大匹配问题 将实际生活中的事物分析转化为图论问题的实例还很多.,1.2 图的定义,图：由若干个不同顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形。 图的表示：通常用一个大写字母G来表示图，用V来表示所有顶点的集合，E表示所有边的集合，并且记成G=(V,E)。,1.2 图的定义,子图：如果对图G=(V,E)与G=(V,E),G的顶点集是G的顶点集的一个子集(VV),G的边集是G的边集的一个子集(EE)，我们说G是G的子图,1.2 图的定义,环：如果一条边，它的起点和终点相同，这样的边称为环。 平行边：若连接两个顶点的边有多条，则
4、这些边称之为平行边。 孤立点：不与任何边关联的顶点称为孤立点。,1.2 图的定义,简单图：如果一个图没有环，并且每两个顶点之间最多只有一条边，这样的图称之为简单图。在简单图中，连接Vi与Vj的边可以记成(Vi,Vj) 完全图：如果G是一个简单图，并且每两个顶点之间都有一条边，我们就称G为完全图。通常将具有n个顶点的完全图记为Kn。 二分图：如果G是一个简单图，它的顶点集合V是由两个没有公共元素的子集X= X1,X2,.,Xn与Y= Yl ,Y2, .,Ym组成的，并且Xi与Xj (1i , jn ) ,Ys与Yt(1s,tm)之间没有边连接，则G叫做二分图。,1.2 图的定义,简单图、完全图、
5、二分图,1.2 图的定义,完全二分图：如果在二分图G中，IXI=N, IYI=M，每一个XiX与每一个YjY有一条边相连，则G叫做完全二分图,1.2 图的定义,如果G是一个N个顶点的简单图，从完全图Kn中把属于G的边全部去掉后，得到的图称为G的补图，通常记为G。 一个图的补图的补图就是自身。,1.2 图的定义,相邻：如果图G的两个顶点Vi与Vj之间有边相连，我们就说Vi与Vj是相邻的，否则就说Vi与Vj是不相邻的。如果顶点V是边e的一个端点，就说顶点V与边e是相邻的，e是从V引出的边。 度数：从一个顶点V引出的边的条数，称为V的度数，记作d(V)。,1.2 图的定义,下图中，d(V1)=d(V
6、2)=d(V3)=d(V4)=d(V5)=5-1=4,d(Y3)=2等等。,1.2 图的定义,K度正则图：把每个顶点的度数为常数K的图叫做K度正则图。 经常使用下面两个符号:,1.2 图的定义,从顶点度数问题的讨论中，引出一些有趣的结论: 1. 2.对于任意的图G，奇次顶点的个数一定是偶数。,1.2 图的定义,例1、空间是否有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而每个面又有奇数条边? 分析:根据题意，可以构造一个图，以面为顶点，当且仅当两个面有公共棱时，则在G的相应两顶点间连一条边，得到图G。依题意，图的顶点个数是奇数，而且每个顶点的度数d(V)是奇数，从而 也是奇数，与结论1相违，故这种多面体
7、不存在。,1.2 图的定义,例2、晚会上大家握手联欢，问是否会出现握过奇次手的人是奇数的情况? 分析:一个图，以人为顶点，两人握手时，则相应的两个顶点之间连一条边，于是每人握手的次数即相应顶点的度数。由结论2，奇次顶点的个数总是偶数，所以握过奇次手的人数是奇数的情况不可能出现。,1.3 道路与回路,道路：在图G中，一个由不同的边组成的序列e1,e2.,eg，如果ei是连接Vi-1与Vi(i=1,2,g)的，我们就称这个序列为从V0到Vg的一条道路，数g称为路长，V0与Vg称为这条道路的两个端点，Vi(1=i=g-1)叫做道路的内点。如果G是简单图，这条道路也可以记作(V0,V1,.,Vg),1
8、.3 道路与回路,下图中e1,e2,e3,e4,e5,e6组成一条道路,1.3 道路与回路,轨道：在道路的定义中，并不要求V0至Vg，互不相同。如果V0至Vg互不相同，这样的道路称为轨道，记成P(V0,Vg) 。 回路：V0=Vg的路称为回路。 圈：V0=Vg的轨道叫做圈。 K阶圈：长为K的圈叫做K阶圈。 显然，如果有一条从V到V的道路上去掉若干个回路，便可得到一条从V到V的轨道。,1.3 道路与回路,U,V两顶点的距离：U,V间最短轨道的长度，记作为D(U,V)。 连通图：若U与Y之间存在道路，则称U与V相连通。图G中任意两个顶点皆连通时，称G为连通图。,1.3 道路与回路,如果图G是一条从
9、V0到Vg的道路，那么该条道路上的每一个内点Vi(1=i=g-1)都是度数为偶数的顶点。因为对Vi来说，有一条进入Vi的边，就有一条从Vi引出的边，而且进出的边不能重复已走过的边，所以与Vi相邻的边总是成双的。故图G至多有两个奇顶点，即V0与Vg。如果G是一条回路，那么根据上面推理，V0与Vg 的度数也是偶数。由此，我们可以引出下面一个结论:,1.3 道路与回路,有限图G是一条道路(即可以一笔画成)的充分必要条件是G是连通的，且奇顶点的个数等于0或2，并且当且仅当奇顶点的个数为0时，连通图G是一条回路(孤立点可以看作是回路)。,1.3 道路与回路,七桥问题：一条河从城市穿过，河中有两个岛A与D
10、，河有七座桥，连接这两个岛及河的两岸B,C。如下图所示：,1.3 道路与回路,问: (1)一个旅行者能否经过每座桥恰好一次，既无重复也无遗漏? (2)能否经过每座桥恰好一次，并且最后能够回到原来出发点? 七桥问题转换成图后，实际上就成了图的一笔画问题：能否一笔画出这个图，每条边既无遗漏，也无重复？能否一笔画出这个图，并且最后回到出发点。 根据道路和回路的知识解答,1.3 道路与回路,显然，由于七桥问题对应的图中有4个奇顶点，因而不能一笔画成，即一个旅行者要既无重复也无遗漏地走过图中七座桥是不可能的。 需要几笔呢？,1.4 树,树：没有圈的连通图称作树，通常用T表示。T中d(V)=1的顶点叫做叶
11、; 森林：每个连通分支皆为树的图叫做森林。 平凡树：孤立的顶点叫做平凡树。 树的图论特征：如果树T的顶点数为N，那么它的边数M= N-1;倒过来，一个具有N个顶点、M=N-1条边的连通图G，一定是一棵树。,1.4 树,红楼梦中荣国府的世系图就是一棵树：,1.4 树,树T具有以下性质: 1.在T中去掉一边后所得的图G是不连通的， 2. T添加一条边后所得的图G一定有圈; 3. T的每一对顶点V与V之间有且仅有一条轨道相连。,1.4 树,设G是一个连通图，如果G中有圈，我们在这个圈中去掉一条边，得到的G还是连通的，如果G仍然有圈，再在圈中去掉一条边得连通图G，这样继续下去，最后得到一个树T，T与G
12、的顶点是相同的，并且从T陆续添加一些边就得到G。具有这样性质的树称为连通图G的生成树。,第二章 求最短路径的算法及应用,2.1 求最短路 2.2 服务点设置间题1求图的中心 2.3 服务点设置间题2求图的P中心 2.4 服务点设置间题3求图的中央点,2.1 求最短路,一、什么是最短路问题： 1.求有向图(图中从一个顶点连到相邻顶点的边有方向性)的最短路问题： 设G= (V ,A)是一个有向图，它的每一条弧Ai都有一个非负的长度L(Ai)，在G中指定一个顶点Vs，要求把从Vs到G的每一个顶点Vj的最短有向路找出来(或者指出不存在从Vs到Vj的有向路，即Vs不可达Vj,2.1 求最短路,2.求无向
13、图(图中连接两个顶点的边无方向性)的最短路问题： 设G=(V,E)是一个无向图，它的每一条边ei都有一个非负长度L(ei)。在G中指定一个顶点Vs，要求把从Vs到G的每一个顶点Vs的最短无向路找出来(或者指出不存在从Vs到Vj的无向路，即Vs不可达Vj。,2.1 求最短路,二、求最短有向路的标号法 所谓标号，是指与图的每一个顶点对应的一个数字。设: b(j)：顶点Vj的标号，代表的是Vs到Vj的最短的长度。Vj已标号则意味着Vs到Vj的最短路以及这条路径的长度已经求出。显然初始时b(s)=0。 l(i,j)：弧(Vi,Vj)的非负长度。 K(i,j)：当前有向路加入弧(Vi ，Vj)后，Vs到
14、Vj的有向路长度。,2.1 求最短路,标号法的算法流程如下：,2.1 求最短路,标号法通用于有向、无向图。,2.1 求最短路,实例：渡河问题。一个人带了一只狼、一只羊和一裸白菜想要过河，河上有一只独木船，每次除了人以外，只能带一样东西。另外如果人不在旁时狼就要吃羊，羊就要吃白菜。问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都带过河，在河上来回的次数又最少? 分析：设变量M代表人，W代表狼，S代表羊，V代表白菜，代表空，什么都没有。开始时设人和其它三样东西在河的左岸，这种情况用MWSV表示。,2.1 求最短路,用一个集合表示左岸的所有可能情况。很显然，可能出现的情况有16种: 剔除下述6种可能发生狼
15、吃羊、羊吃白菜的情况:,2.1 求最短路,构造一个图G，它的顶点就是剩下的10种情况。G中的边是按下述原则来连的:如果经过一次渡河，情况甲可以变成情况乙，那么就在情况甲与情况乙之间连一条边。,2.1 求最短路,作了图G以后，渡河的问题就归结为下述问题了:在G中找一条连接顶点MWSV与，并且包含边数最少的路。如果设G中各边的长度都是1，那么也可以把渡河间题归结为:“找一条连接MWSV与的最短路”。最终问题归结为求最短路径问题。,第三章 求最小生成树,3.1 求无向图的最小生成树 3.2 求有向图的最小树形图,3. 1求无向图的最小生成树,一、最小生成树的由来 设G=V,E是一个无向图，如果T=V
16、,E1是由G的全部顶点及一部分边组成的子图并且T是树(连通、没有圈的图)，则称T是G的一个生成树。一个连通图G一般有许多种生成树。现在考虑一个连通图G=V,E，它的每一条边Ej，有一个长度L(Ej)0。这时对于G的任意一个生成树T，我们把属于T的各条边的长度之和称为T的长度，记作L(T)。,3. 1求无向图的最小生成树,一、最小生成树的由来 下图中，T1和T2是G的生成树，L(T1)=22,L(T2)=17,3. 1求无向图的最小生成树,一、最小生成树的由来 最小生成树问题：如何从G的所有生成树中，找出长度最小的生成树。这个问题即所谓最小生成树间题。,3. 1求无向图的最小生成树,二、最小生成树的计算 一开始，先将G图中的边都去掉，只留下孤立的顶点，这个图即为G图最初的生成子图G1。然后逐步地将当前最小边e1加上去，每次加的时候，要保持“没有圈”的性质，在加了N-1条边(N是顶点个数)后，G1便成为所要求的最小生成树了。,3. 1求无向图的最小生成树,二、最小生成树的计算 算法步骤如下：,
