第三章 流体运动学讲义

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1、第三章 流体运动学,流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。 流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。,3-1 描述流体运动的两种方法,空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中，同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。,因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。,几个基本概念：,空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。,流 场：充满运动流体的空间。,流体运动的描述

2、方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和欧拉法。,流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量，如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。,3.1.1 拉格朗日法和欧拉法,（1） Lagrange法（拉格朗日法）,拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也称为质点系法。 这种方法和理论力学中研究固体质点

3、和质点系运动的方法是一致的。,为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标为 。当赋予 为一组确定值时，即表示跟踪这一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质点在空间所处的位置，即坐标 ，又与时间 t 有关。所以质点在空间的坐标 可以表示为起始坐标 和时间 t 的函数，即：,式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。,在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。

4、,对于某个确定的时刻，t 为常数， a、b、c为变量，x、y、z只是起始坐标a、b、c的函数，则式（3.1）所表达的是同一时刻不同质点组成的整个流体在空间的分布情况。,若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运动轨迹。,将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度和加速度：,同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写成a、b、c和 t 的函数，即= （a，b，c，t），p=p (a，b，c，t )，T=T (a，b，c，t )。,式（3.2）、（3.3）仍为a、

5、b、c、t 的函数。,拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧拉法。,（2） 欧拉法,欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场，所以欧拉法又称空间点法或流场法。,欧拉法把流场中各运动要素表示成空间坐标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。

6、,如图3.2 ，取空间任一固定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中的点，其运动情况是M点坐标（x, y, z）的函数，也是时间 t 的函数。如速度 可表示为：,表示成各分量形式：,同理，在欧拉法中，密度、压强 p也可以表示为欧拉变量的函数：,式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。 分别是速度 在x，y，z上的分量。,写成矢量形式：,在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4）表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即流体运动的流速场。,当 x，y，z 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。,

7、欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过该空间点时所具有的加速度。,设已知速度场为 ，在研究 t 时刻某一流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运动到新位置M点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x，y，z也是时间 t 的函数，因此有：,又因为,所以,根据矢量的点积公式，上式可写为,式中 为哈密尔顿算子。,当地加速度,质点加速度：,迁移加速度,第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，称

8、为当地加速度（或称局部加速度），或称为时变加速度（定位加速度）。它表示在固定空间点处，流体质点由于速度随时间变化而引起的加速度，这是由流场的非恒定性引起的，也就是非恒定性所给予流体质点的速度变化率；,第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化而产生的，称为迁移加速度（对流加速度），或称为位变加速度（变位加速度）。它表示在同一时刻，因空间不同点处流体质点由于速度不同而引起的加速度，即由流场的不均匀性引起的，也就是流场非均匀时给予流体质点的速度变化率。,当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。,流体质点加速度 在坐标轴上的分量，即式（3.9）可写为：,（3）拉格朗日变数和欧拉变数的相互转

9、换 （略）。,3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念,在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的性质和特点，将流体的运动区分为各种类型。,（1） 流体的恒定流与非恒定流,恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、压强、密度等等）均不随时间变化 ，即,非恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素均随时间变化 ，即,对于恒定流，当地加速度等于零，只存在迁移加速度。,等于零,加速度,恒定流,非恒定流,（2） 迹线与流线,1、迹线,定义：流场中某一流体质点的运动轨迹。它是单个质点在运动过程中所占据的空间位置随时间连续变化的轨迹。,（t 为自变量， x, y, z 为t 的函数 ）,属拉格

10、朗日法的研究内容,迹线微分方程,2、流线,定义：表示流速场内某瞬时流速方向的曲线。在同一时刻，流线上各空间点的流体质点的流速方向均与该曲线相切。,强调的是空间连续质点而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不是一段连续时间内 表示的是质点的速度方向而不是空间位置连线,属欧拉法的研究内容,流线的几个性质： 流线是一条光滑的连续曲线，不能是折线 。 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，流线不能相交和分支。由此还可推断出，流体在不可能穿透的固体边界上沿边界法向方向的流速分量为零，流向与边界方向重合。 在恒定流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。在非恒定流动中，由于各空间点上速度随时间

11、变化，流线的形状和位置是在不停地变化的。,流线微分方程,速度矢量,通过该点流线上的微元线段,速度与流线相切,（3.21）,【例3.1】速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数） 求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图； （2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。,流线方程,积分：,【解】（1）流线：,（2）迹线,迹线方程（抛物线）,o,y,x,注意：流线与迹线不重合,即,流线方程（双曲线）,【例3.2】 已知速度ux=x+t，uy=y+t 求：在t=0时过（1，1）点的流线和迹线方程。,【解】（1）流线：,t=0时，x=1，y=1 c=0,积分：,（2）迹线：,由t=0时，x

12、=1，y=1 得 c1=c2=0,迹线方程（直线）,（3）若恒定流： ux=x，uy=y,注意：恒定流中流线与迹线重合,流线方程,迹线方程,（3） 流管、元流、总流和流量,1流管：在流场中取任一封闭曲线（不是流线），在同一时刻由通过该曲线上每一点的流线所围成的管状面，称为流管。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。,另外，在非恒定流中，流速是变化的，所以流管一般也随时间而变，只具有瞬时的意义。,由流线的定义知，流体不可能穿过流管表面流出或流入。,图3.4 流管和流束,2元流（或称为流束） ：充满于微小流管内的流体称为元流。（或：过流管横截面上各点作流线，得到的充满流管的一束流线簇，称为流

13、束，即元流。）当元流的断面面积趋近于零时，元流将达到它的极限：流线。,垂直于元流流向的横断面称为元流的过流断面，其面积用dA表示。因dA是微小面积，故其上各点的流速和压强都可认为是均匀分布的。,3总流: 由无数元流组成的整股水流称为总流。,与总流中所有元流流线相垂直的横断面称为总流的过流断面，其面积以A表示。过流断面一般为曲面，只有在流线平行的情况下，过流断面才是平面。,自然界和工程中所遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类： （1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。 （2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另一

14、部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。 （3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。,流量：单位时间内通过过流断面的流体体积称为体积流量， 简称流量，以Q表示。其单位为m3/s、L/s等。 单位时间内通过过流断面的流体质量称为质量流量， 以Qm表示，其单位为kg/s等。,在工程计算中为了便于应用，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在过流断面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该过流断面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的流量相同。,（4） 一元流、二元流和三元流,一元流（一维流动）：如果流动要素（流速、压强等）只是时间t 和一个空间坐标的函

15、数，那么这种流动称之为一元流。,如果元流的运动只与流程坐标 s 有关，该元流为一元流。但总流往往不是一元流，例如河道、渠道、管道中，流动要素是三个坐标的函数。有时为了简化分析，忽略断面上其它因素的影响，把断面流速看作是分布均匀的，即用平均流速代替实际流速，通过这样处理以后，总流的运动要素就仅仅是时间 t 和流程 s 的函数，可以作为一元流动来处理。,二元流（二维流动）：若流动要素是时间 t 和两个空间坐标的函数，这种流动称为二元流。二元流或近似二元流是实际流动中常见的流动。,例如，水在宽浅矩形渠道中的流动 。水渠宽度很大，两侧边壁对流速分布的影响可忽略不计，流速可看作是水流方向坐标x和水深方向

16、坐标y的函数，可作为二元流。二元流动也称为平面流动，它表明若沿某一方向截取各个剖面，流动情况都是一样的。,三元流（三维流动）：若流动要素是时间 t 和三个空间坐标的函数，则这种流动称为三元流。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然河道中的流动等等。三元流动分析很复杂，所以通常根据具体情况将其简化为二元流或一元流来研究，在简化过程中引进修正系数，系数可通过实验确定。,均匀流,（5） 均匀流和非均匀流,均匀流：是指流线为直线且相互平行的流动。 均匀流中，过流断面是平面，过流断面上的流速分布图 沿程不变。,非均匀流,非均匀流：流线或者是不平行的直线，或者是曲线的流动。,非均匀流中，过流断面是曲面，各过流断面面积及其流速分布图沿程是变化的。,1-2 非均匀流 2-3 非均匀流 3-4 均匀流 4-5 非均匀流,（6） 渐变流（缓变流）和急变流,渐变流和急变流：非均