行列式的性质

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1、行列式的性质,行列式的定义,关于数域。,定义行列式的转置：,的转置是一个新的行列式，如下：,行列式的转置,例,性质1：,性质2：,交换行列式的两行, 行列式反号。,类似地：交换行列式的两列, 行列式反号。,证,不妨假设交换行列式 D = det(aij) 的第1第2两行，得到的行列式记作 B = det(bij), 则:,两个行列式的通项之间的关系：,例:,例:,推论：行列式某两行（列）对应元素分别相等，则行列式等于零。,例,证：,性质3：,证,记左边的行列式为D1,则,注：该性质对列也成立。,即：某行（列）的公因子可以提出来。,例:,方阵数乘的行列式:,推论： n 阶行列式某两行（列）对应元

2、素成比例， 则行列式等于零。,证,提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，,由前面的推论可知行列式为零。,例:,=0,推论： n行列式某行元素全为0，则行列式等于零。,例:,=0,性质4：,注： 该性质对列也成立。,证,左边行列式的一般项为：, 可推广到 m 个数相加的情形。,例:,性质5：,（保值变换）,证,定理：设 A,B 为 n 阶方阵，则 |AB| = |A|B|.,矩阵乘积的行列式，等于行列式的乘积。,证明：略。,例 计算行列式,一般方法：用保值变换将行列式化成三角形。,初学者注意：将变换过程记录下来，便于检查。,将过程记在行列式符号的右边，用“箭头”表示。,解,例,是反对称行列式,不是反对称行列式,定义： A 为 n 阶反对称矩阵，若 AT = -A.,定义： 反对称矩阵的行列式称为反对称行列式。,证明：奇数阶反对称行列式等于零。,证：,设 A 为 n 阶反对称矩阵，即 AT = -A.,取行列式可知 |A| = |AT| = |-A| = (-1)n|A|.,当 n 为奇数时， |A| = -|A|.,注意 |A| 为数字，故必有 |A|=0.,例 计算行列式,另一种记法,行列式的几个几何应用,接行列式的展开,