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1、第3章 离散傅里叶变换(DFT),3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 习题与上机题,傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。, 本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性质以及频域采
2、样和DFT的应用举例等内容。,3.1.1 DFT的定义,用计算机进行傅里叶变换运算时，要求,（1）时、频域均为离散的；,（2）时、频域的点数均为有限的。,3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义,1、离散时间、连续频率序列的傅立叶变换(DTFT) 2、离散时间、离散频率离散傅立叶级数(DFS),主值序列,主值序列,DFT变换对,DFS变换对,N点DFT 变换对,x(n)的长度为M点，NM,主值序列,主值序列,DFT变换对,DFS变换对,有限长序列的DFT是有限长的，DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值。,【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解: 设
3、变换区间N=4，则,设变换区间N=8，则,3.1.2 DFT和DTFT，ZT，DFS的关系 设序列x(n)的长度为M,DFT与ZT关系： DFT与DTFT关系：,DFT与DFS的关系：,M是序列长度,(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。 (3.1.4)式则说明X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。 ,(3.1.4),(3.1.3),由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ej)在区间0, 2上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。 上例中， x(n)=R4(n
4、)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ej)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFTx(n)4=4(k)。,图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系,3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于 的周期性， 使X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有,均为整数,所以X(k)满足,(3.1.5),(3.1.6),(3.1.7),(n)N表示对n模N取余，即如果n=MN+n1 0n1N1, M为整数 则 (n)N=n1,主值区间，主值序
5、列，周期延拓,例如， , 则有,(3.1.5),(3.1.6),(3.1.7),注：若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当NM时，(3.1.5) 式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6)和 (3.1.7)式仅对 NM时成立。,图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列,图3.1.2（a）中x(n)实际长度M=6， 当延拓周期N=8时， 如图 3.1.2（b）所示。,当延拓周期N=4时， 如图 3.1.2（c）所示。,如果x(n)的长度为M，且 ，NM，则可写出 的离散傅里叶级数表示式,(3.1.8),(3.1.9),将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT的定义(3.1.1)和(3.1
6、.2)式相比较可知，有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x(n)N的离散傅里叶级数系数 的主值序列，即 。,现在解释DFTR4(n)4=4(k)。根据DFT第二种物理解释可知，DFTR4(n)4表示R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4(n)4的频谱特性，因为R4(n)4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率成分）。,时域,频域,3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.1 线性性质,3.2.2 循环移位特性,计算循环移位步骤：,）移位 m点；,）取主值序列。,）将x(n)以N 为周期周期延拓；,（1）圆周移位（循环移位）,图3.2.1 x(n)及其循环移
7、位过程,若,则,且,证明：,令n+m=n，则有：,求和项以N为周期，因此对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得,（2）时/频域循环移位定理,若,则,且,时域循环移位定理表明：有限长序列的循环移位，在离散频域中相当于引入一个和频率成正比的线性相移WN-mk,频域循环移位定理表明：时域序列的调制(相移)等效于频域的循环移位,（2）时/频域循环移位定理,3.2.3 循环卷积定理 时域循环卷积定理是DFT中最重要的定理，具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计算系统的输出，以及FIR滤波器用FFT实现等，都是基于该定理的。下面首先介绍循环卷积的概念和计算循环卷积
8、的方法，然后介绍循环卷积定理。,（3.2.5）,1 两个有限长序列的循环卷积 设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为,式中，L称为循环卷积区间长度，LmaxN，M。为了区别线性卷积，用 * 表示线性卷积，用 表示L点循环卷积，即yc(n)=h(n) x(n)。观察（3.2.5）式，x(nm)L是以L为周期的周期信号，n和m的变化区间均是0, L1。,（3.2.5）,由于直接计算循环卷积比较麻烦。计算机中采用矩阵相乘 或快速傅里叶变换（FFT）的方法计算循环卷积。,用矩阵计算循环卷积的公式,当n = 0, 1, 2, , L1时，由x(n)形成的序列为
9、: x(0), x(1), , x(L1),令n=0, m=0, 1, , L1，(3.2.5)中x(n-m)L形成的循环倒相序列为,令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列为,（3.2.6）,上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是: （1） 第1行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循环倒相序列。注意：如果x(n)的长度ML，则需要在x(n)末尾补LM个零后，再形成第一行的循环倒相序列。 （2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。,【例3.2.1】 计算两个长
10、度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积,解 : 按照式（3.2.21）写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为,h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为,图3.2.2 序列及其循环卷积波形,计算h(n)与x(n)的线性卷积结果并与8点循环卷积结果相比较,重要结论：当循环卷积区间长度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的 长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。,2.循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)的长度分别为N1和N2，N=maxN1, N2，x1(n)和x2(n)的N点循环卷积为,（3.2.9）,则x(n)的N点DFT为,其中,证明 直接对x(n)进行DF
11、T，则有,令nm=n，则有,因为上式中 是以N为周期的，所以对其在任一个周期上求和的结果不变。,由于 ，,即循环卷积亦满足交换律。,因此有,频域循环卷积定理: 如果x(n)=x1(n)x2(n)，则,(3.2.10a),3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0),证明：,同理可证： 0kN-1,又由X(k)的隐含周期性，有X(N)=X(0),3.2.5 DFT的共轭对称性 1 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的
12、共轭对称（或共轭反对称）序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下关系式： ,(3.2.13b),(3.2.13a),当N为偶数时，将上式中的n换成N/2n，可得到： 上式更清楚地说明了有限长序列共轭对称序列是关于n=N/2点对称。 容易证明，如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即,(3.2.14),将上式中的n换成Nn，并取复共轭，再将(3.2.13a)式和(3.2.13b)式代入，得到 (3.2.15) (3.2.14)式分别加减(3.2.15)式，
13、可得 (3.2.16a) (3.2.16b),2 DFT的共轭对称性 (1) 如果将x(n)表示为 x(n)=xr(n)+jxi(n) (3.2.17) 其中 那么，由(3.2.11)式和(3.2.16a)式可得,【例3.2.2】 利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。 解 构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到： ,利用DFT的共轭对称性可得,所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT： ,(2) 如果将x(n)表示为 (3.2.21),其中， 是
14、x(n)的共轭对称分量， 是x(n)的共轭反对称分量, 那么，由(3.2.12)式可得,DFT对称性的结论：,结论一：,结论二：,综上所述，可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。,(1) X(k)共轭对称，即 X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1 (3.2.23) (2) 如果x(n)是实偶对称序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)实偶对称，即 X(k)=X(Nk) (3.2.24) (3) 如果是实奇对称序列，即x(n)=x(Nn)，则X(k)纯虚奇对称，即 X(k)=X(Nk) (3.2.25),设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)N，则X(k)满足如下对称性：,实际中经常需要对实序列进行DFT，利用上述对称性质，可减少DFT的运算量，提高运算效率。例如，计算实序列的N点DFT时，当N=偶数时，只需计算X(k)的前面N/2+1点，而N = 奇数时，只需计算X(k)的前面(N+1)/2点，其他点按照(3.2.23)式即可求得。例如， X(N
