介质中的麦克斯韦方程组

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1、介质中的麦克斯韦方程 组介质中的麦克斯韦方程汪毅介质介质介质 ： 由分子组成 ， 分子内部有带正电的原子核，及核外电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁场 。场 。宏观物理量 用介质内大量分子的小体元内的平：均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限小 在微观上无限大 在没有外力场， ）。时，介质内宏观电荷、电流分布不出现，宏观场为为 零。介质的极化介质的极化无极分子 ： 分子 的正 负 电 荷中 心重合， 有外场时 ，无极分子 分子 负 荷中正负电荷中心在外场作用下发生相反方向的运动，从而产生附加的分子电偶极矩 ， 此种极化机理称为从而产生附加的分子电偶极矩 ，位移极化。有极分子 ：

2、分子的 正 负电荷中 心 不重合 ， 无外场时 ，有极分子 分子的 负电荷中 不重合 无外场时大量无序排列不显现宏观典型，在外场作用下，产生有序化运动 此种极化机理称为取向极化生有序化运动 ， 。极化强度矢量无极分子和有极分子在外场作用，从宏观上来看这种行为都相当 产生 个电偶极矩 在电磁学两 种行为都相当 于 产生 了一 个电偶极矩 。中 ， 引进了极化强度矢量 ：中 ， 引进了极化强度矢量 ：ipKiPV=K其中 是第i个分子的电偶极矩，求和符号表示对V体积中所有分子求和 。ipK体积中所有分子求和极化强度矢量由于极化，分子正负中心发生相对位移，因此物理小体积 V内可能会出现净余的正电或负

3、电 即出小体积 ， 即出现了宏观的束缚电荷分布：电偶极矩为 分子们极化后 ， 一 部分电偶极子pql=KK电偶极矩为 分子们极化后 ，跨过了 dS，局部区域内出现了束缚电荷。极化强度矢量设单位体积内分子数为 n,则穿出 dS外面的正电荷为 ：为 ：ldS dSK K KKPdSKKnq np dS=对闭合界面 S积分，则由 V内通过界面 S穿出去的正电荷为 ：电荷为 ：P dSKKvpdV=SVPKp=面极化密度矢量在两介质界面 附近的薄层内 介质 1 从左侧进入薄层的在两介质界面 ， 附近的薄层内 ， 介质 从左侧进入薄层的正电荷为 ，介质 2从右侧进入薄层的负电荷为 ，故薄层内净余电荷为1

4、PdSKK2PdS KK故薄层内净余电荷为 :( )dS P P dSKK( )PPK KK12P =Pn = 21极化电流密度如果电场随时间变化，则极化过程中正负电荷中心的相对位移也随着时间变化，从而产生电流，称为极化电流 ， 极化电流密度为 ：极化电流 ， 极化电流密度为 ：PK0Pjt+ =PKpjt=K电位移矢量介质中有自由电荷，还有极化电荷，总的电荷密度为为 ：f P =+fP=K由电场的散度定义100()fEP = = K KD K0()fEP + =KKf=由于极化电荷密度不容易检测和计算，引入电位移矢量可以测量和计算，避免上述问题。各向同性线性介质极化强度和电场强度的关系：0P

5、E=K Ke 称 作 介 质 的 极 化 率e称 作 介 质 的 极 化 率DEK K=1+0 rr e = =为 相 对 电 容 率 为 介 质 的 电 容 率r 为 相 对 电 容 率 ， 为 介 质 的 电 容 率各向异性介质在各向异性介质中， D和 E一般具有不同方向向 ，3其中 ij是一个二阶张量。1,1,2,3iijji= =DEDE= KKI11 12 32 33ii ij k j kk = + + +K KKKK KK KIjj非线性现象 (强场作用 )电位移矢量与电场强度的关系为非线性关系(1,2,3)i ij j ijk j k ijkl j k ljjk jklDE E

6、EEi = + + + = 对 于 铁 磁 物质 ，一 般情况 不 仅非线性 ，而且 非对铁物质 仅非线性 非单值。在电磁场频率很高时，情况更复杂，介质会出现色散现象 。 即使在电磁场较弱的情况。, 表现为频率的函数。介质的磁化介质的磁化 ： 介质中分子或原子内的电子运动形：成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下 磁偶极矩定向排列 形成宏， ，观上的磁偶极矩。mia=K K分子电流相应的磁矩可表示为磁化电流密度当介质被磁化后，由于分子电流的不均匀会出现宏观电流，称为磁化电流。IjdSKKmmS=LNIa dl=KKvMdl= KKvjMKKLm= 磁化面电流密度磁化面电流

7、密度在介质交界面上的一个薄的层内，存在磁化面电流分布Mn =KK Km磁场强度磁化电流和极化电流之和是介质中的总诱导电流密度度 ：p mjj+K KK介质对宏观磁场的作用是通过诱导电流激发磁场的，因此 ：01fpmEBj j jt = + + +KK KK因此 ：0PEjM =+KK0ftt DKKKBKKKf = +0HM= 介质中的麦克斯韦方程组fD =KBKE =KtK0B =DHj = +KKKft介质 的电磁 特性方程介质 特性方程PE=KK(1 )DEP EK KK K0eKK00eE = += +KDE=0 r =MH=KKKKK KM00()(1)mB HM H = += +K

8、K0 rHH = =fJE=KK例题1：由麦克斯韦方程组出发，求电导率为 电容率为 的均匀介质内部自由电荷量的密度， 电容率为 与时间t的关系?DKDK()HjKKtt= t= j=KE=KD= K=t0e =静电平衡时 电导率 0的均匀介质内自由电荷量静电平衡时 ， 电导率密度为零。 (t,0)有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球，介质的电容率为 使介质内均匀带静止电荷 f 求电容率为 ， 使介质内均匀带静止电荷 ， 求(1)极化体电荷分布()(2)极化面电荷分布10( )Err=K331()()frrDdS dV E KK KK123333SVrrrrr = v2123()()3f

9、rrE rrrr=KK0000 0()ePE E E = =KK K K0()PEK K0P = 33103()()3frrr = K3rr0 13()3frrr=K K0 =fPP =12P nn考虑到外球壳时 r=r n的方向从介质 1指向真空考虑到外球壳时 ，2, 的方向从介质 指向真空 ，P2n=0331() |rrPr=K10 23333P n f rrr=0 213(1 )3frrr=考虑到外球壳时，r=r12331() |0rrr =K1033Pfr= =习题 一 5,6,9有一内外半径分别为 r1和 r2的无穷长空导体圆柱 沿轴向留有恒定均匀自由电流 J 导体柱 ， 沿轴向留有恒定均匀自由电流 ， 导体的磁导率为 ，求磁感应强度和磁化电流。