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1、1 1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定超静定结构的内力 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，内力是超静定的。结构是几何不变体系，且有多余约束。超静定结构的计算主要有两种方法：一、是以多余未知力为未知数的力法；二、以结点位移为未知数的位移法。1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定二、超静定次数超静定次数是指超静定结构中的多余约束的个数。也就是说，如果从原结构中去掉 n 个约束，结构就成为静定的，则原结构就是 n 次超静定。1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定超静定次数多余约束个数把原结构
2、变成静定结构时所需撤除的约束个数未知力个数 - 平衡方程的个数1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定确定超静定次数的关键是要学会把原结构拆成一个静定结构。注意以下几点：1 、撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。2 、撤去一个铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定3 、撤去一个固定端或切断一梁式杆，等于拆掉三个约束。4 、在连续杆上加一个单铰，等于拆掉一个约束。5 、 不要把原结构拆成一个几何可变体系 。6 、 要把全部约束都拆除 。1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定下面看几个结构。1 4 . 1 超静定结
3、构的组成和超静定次数的确定2 1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定 1 4 . 1 超静定结构的组成和超静定次数的确定1 4 . 2 力法的基本概念一、基本思路把超静定问题与静定问题联系起来，由静定过渡到超静定。解释三个基本概念：1 、力法的基本未知量1 4 . 2 力法的基本概念1 4 . 2 力法的基本概念力法的特点就是：把多余未知力的计算问题当作超静定问题求解的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力 称为 力法的基本未知量 。1 4 . 2 力法的基本概念2 、力法的基本体系把多余约束去掉后得到的静定结构称为力法的基本体系。在基本体系中仍然保留原结构的多余约束反力
4、X 1 ，只是把它由被动力改为主动力，此时基本体系的受力状态与原结构完全相同。基本体系既是静定结构，又可用来代表原超静定结构。1 4 . 2 力法的基本概念1 4 . 2 力法的基本概念3 、力法的基本方程 位移方程如何使去掉约束的基本体系真正变成原来的超静定结构？对于上面的基本体系来说，只有当 B 端的竖向位移正好等于零时，基本体系中的变力 X 1 才与超静定结构中常力 X 1 正好相等，这时基本体系才能真正转化为原来的超静定结构。3 1 4 . 2 力法的基本概念由此得到，基本体系转化为原来超静定结构的条件是： 基本体系沿多余未知力 X 1 方向的位移 1 应与原结构相同，即： 1 0 。
5、这个转化条件是一个变形条件，也就是计算多余未知力时所需要的补充方程，称为 力法的基本方程 。下面只讨论变形体系的情况。1 4 . 2 力法的基本概念1 4 . 2 力法的基本概念对于上图，根据叠加原理， a 图应等于 b 图与 c 图的总和， b 图与 c 图分别表示基本体系在 q 和 X 1 单独作用下的受力状态，变形条件可以表示如下： 1 1P + 11 0其中 1 是基本体系在荷载与未知力X 1 共同作用下沿 X 1 方向的总位移。1 4 . 2 力法的基本概念 1P 是基本体系在荷载单独作用下沿X 1 方向的位移。 11 是基本体系在未知力 X 1 单独作用下沿 X 1 方向的位移。位
6、移 1 、 1P 、 11 的方向如果与力 X 1的正方向相同，则规定为正。1 4 . 2 力法的基本概念 11 是由未知力 X 1 引起的位移。根据叠加原理，位移 11 应与力 X 1 成正比，其中的比例系数用 11 表示，则可以写成： 1 1 11 X 1系数在数值上等于基本体系在单位力 X 1 1 单独作用下沿 X 1 方向产生的位移。1 4 . 2 力法的基本概念得到 ： 11 X 1 + 1P 0这个就是线性变形条件下一次超静定结构的力法基本方程。1 4 . 2 力法的基本概念1 4 . 2 力法的基本概念应用图乘法，得到：4 1 4 . 2 力法的基本概念得到：求得的未知力是正号，
7、表示反力 X 1的方向与原设定的方向相同。然后 ，利用平衡条件求出原结构的支反力，作出内力图。1 4 . 2 力法的基本概念根据叠加原理，结构任一截面的弯矩 M 也可以用下列公式表示：M 1 是单位力 X 1 1 在基本体系中任一截面所产生的弯矩， M P 是荷载在基本体系中所产生的弯矩。1 4 . 2 力法的基本概念1 4 . 2 力法的基本概念二、多次超静定结构的计算下面结合一个两次超静定结构进行讨论。1 4 . 2 力法的基本概念取 B 点两根支杆的以力 X 1 和 X 2 为基本未知量，基本体系如下图。1 4 . 2 力法的基本概念利用多余约束处的变形条件：即基本体系在 B 点沿 X
8、1 和 X 2 方向的位移应与原结构相同，即应等于 零。就有： 1 是基本体系沿 X 1 方向的位移，即 B点的竖向位移； 2 是基本体系沿 X 2方向的位移，即 B 点的水平位移。1 4 . 2 力法的基本概念下面应用叠加原理展开。先分别计算基本体系在每种力单独作用下的位移：1 4 . 2 力法的基本概念( 1 ) 荷载单独作用时，相应位移为 1P、 2P 。5 1 4 . 2 力法的基本概念( 2 ) 单位力 X 1 1 单独作用时，相应位移为 11 、 21 ；未知力 X 1单独作用时，相应位移 11X 1 、 21 X 1 。1 4 . 2 力法的基本概念( 3 ) 单位力 X 2 1
9、 单独作用时，相应位移为 12 、 22 ；未知力 X 2 独作用时，相应位移 12 X 2 、 22 X 2 。1 4 . 2 力法的基本概念由叠加原理得到：即：上面就是两次超静定结构的力法基本方程。1 4 . 2 力法的基本概念然后利用平衡条件求支反力和内力。也可以利用叠加原理求内力，任一截面的弯矩 M 可用下面的叠加公式计算：M 1 和 M 2 是单位力 X 1 1 和 X 2 1在基本体系中任一截面所产生的弯矩， M P 是荷载在基本体系任一截面所产生的弯矩。1 4 . 2 力法的基本概念同一结构可以按不同方式选取力法的基本体系和基本未知量。此时，力法基本方程在形式上与上式相同，但是
10、X 1 和 X 2 的实际含义不同，变形条件的实际含义也不同。1 4 . 2 力法的基本概念1 4 . 2 力法的基本概念下面讨论 n 次超静定的一般情况。力法的基本未知量是 n 个多余未知力X 1 、 X 2 、 、 X n ，力法的基本体系是从原结构中去掉相应的 n 个多余未知力后得到的静定结构，1 4 . 2 力法的基本概念力法的基本方程是在 n 个多余约束处的 n 个变形条件 基本体系中沿多余未知力方向的位移应与原结构中的相应位移相等。根据叠加原理， n个变形条件通常可写为：6 1 4 . 2 力法的基本概念上式为 n 次超静定结构在荷载作用下力法方程的一般形式，常称为 力法的典型方程
11、 。系数 ij 和自由项 iP 代表基本体系的位移。 iP 由荷载产生的沿 X i方向的位移； ij 由单位力 X j 1 产生的沿 X i方向的位移，常称为柔度系数。1 4 . 2 力法的基本概念位移正负规定：当位移 iP 或 ij 的方向与相应力 X i的正方向相同时，则位移为正。其中： i j ji有柔度矩阵：1 4 . 2 力法的基本概念超静定结构内力可由叠加原理计算：其中： M i、 Q i、 N i是基本体系由于X i=1 作用而产生的内力， M P 、 Q P 、N P 是基本体系由于荷载作用产生的内力。1 4 . 3 超静定刚架计算刚架位移时，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯
12、矩的影响。1 4 . 3 超静定刚架例 1 超静定刚架，梁和柱的截面 惯性矩分别为 I 1 和 I 2 ， I 1 ： I 2 2 ： 1 。当横梁承受均布荷载 q 2 0 k N / m 作用时，作刚架的内力图。1 4 . 3 超静定刚架1 4 . 3 超静定刚架1 4 . 3 超静定刚架7 1 4 . 3 超静定刚架1 4 . 3 超静定刚架1 4 . 3 超静定刚架1 4 . 3 超静定刚架1 4 . 4 对称性的利用利用对称性可以使计算工作得到简化。所谓结构对称，就是指：( 1 ) 结构的几何形式的支承情况对某轴对称；( 2 ) 杆件截面和材料性质也对此轴对称（也就是杆件的截面刚度 E
13、I 也对此轴对称）。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用任何荷载都可以分解为两部分：一部分是对称荷载，另一部分是反对称荷载。对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合（作用点相对应、数值相同、方向相同）；1 4 . 4 对称性的利用8 1 4 . 4 对称性的利用反对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载正好相反（作用点相对应、数值相等、方向相反）。1 4 . 4 对称性的利用对称结构的力学特征是：在对称荷载作用下，其内力和变形是对称的；在反对称荷载作用下，其内力和变形是反对称的。所以只需计算结构对称轴一侧的半个结构即可。称半个结构为原结构的等代结构。1 4 . 4
14、对称性的利用一、无中柱对称刚架的等代结构1 、对称荷载作用下的等代结构1 4 . 4 对称性的利用上图中对称刚架受对称荷载作用，将其沿对称轴切割为两半，对称轴处截面 A 上只有对称的内力（轴力和弯矩），没有反对称的内力（剪力）。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用由于刚架发生对称的变形，截面 A 只能有竖向位移，不能有水平位移和转角。在截面 A 处安装一个垂直于轴线的定向支座得到等代结构。对于无中柱对称刚架受对称荷载作用下，其等代结构是： 对称轴任一侧的半刚架，在切开截面处加与对称轴垂直的定向支座 。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用2 、反对称荷载作
15、用下的等代结构9 1 4 . 4 对称性的利用上图中对称刚架受反对称荷载作用，将其沿对称轴切割为两半，对称轴处截面 A 上只有反对称的内力（剪力），没有对称的内力（轴力和弯矩）。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用由于刚架发生反对称的变形，截面 A只有水平位移和转角，不能有竖向位移。在截面 A 处安装一个平行于轴线的滚轴支座得到等代结构。对于无中柱对称刚架受反对称荷载作用下，其等代结构是： 对称轴任一侧的半刚架，在切开截面处加与对称轴平行的滚轴支座 。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用例 2 利用对称性作图示刚架的弯矩图。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用10 1 4 . 4 对称性的利用例 3 利用对称性作图示刚架的弯矩图。1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 4 对称性的利用1 4 . 6 超静定结构的特性归纳超静定结构的特性如下：1 、超静定结构具有多余约束。一般来说，超静定结构的内力分布比较均匀，变形较小，结构的刚度大一些。2 、在温度变化、支座移动、材料收缩、制造误差的影响下，超静定结构会产生内力。1 4 . 6 超静定结构的特
