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1、厦门大学 硕士学位论文 给定匹配数的树的零阶广义Randic指标的界 姓名：林启法 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：钱建国 20070801 摘要 为了研究饱和碳氢化合物的碳原子骨架的分支程度，著名化学家M R a n d i c 于1 9 7 5 年提出了一种重要的分子拓扑指标分支指标( b r a n c h i n gi n d e x ) 分支 指标又称为连通性指标( c o n n e c t i v i t yi n d e x ) 或R a n d i c 指标，它与分子的物理 化学性质有着非常紧密的关系。在1 9 7 7 年，K i e r 和K a l l 等发
2、展了分子连接性指数 概念，定义了零阶R a n d i c 指标o R ( z c r o t h - o r d c rR a n d i ci n d e x ) X 1 i 和J Z h e n g 又提出了零阶广义R a n d i c 指标( 记为。疋，其中口为任意实数) ，引起了更多数学 家和理论化学家的关注和研究 目前，对零阶广义R a n d i c 指标的研究主要集中在极值问题上，即：在某个图 类中，什么样的图具有最大( 或最小) 的零阶广义R a n d i c 指标 本文研究给定匹配数的树的零阶广义R a n d i c 指标的极值问题，主要结果如 下： 1 当口= -
3、I 时，确定了u 疋1 的最大值及最小值并刻画了达到该极值的图类，该 结果表明：( 1 ) 嚏l 与匹配数之和最小的极图为化学树( 即最大顶点度不 超过4 的树) ；( 2 ) 具有最大值u 疋l 的极图与给定匹配数具有最小 1 心砖口 O 因此，引理3 得证。 我们定义殇为顶点数为刀( 2 ) 的树，它是由一1 个悬点连接到星图 墨晰l 的一1 + 非e e 心点显然T 丹O 是一棵匹配数为顶点数为，z 的树且 T ：，是顶点数为2 的完美匹配树，见图1 。 p lt t ， 通过简单计算，我们得到 图1 。 p lt T ： 给定匹配数的树的零阶广义R m d i c 指标的界 乜( 殇向
4、一譬+ 南一丢 定理2 ：对任意乙E 加2 p ) ，则有 k ( M 刀一鲁+ 而1 一三等式触当且仅当 乙，T 二O ( n = 2 f 1 ) 或乙“T 刀o 如 2 ) 证明：当乙- T O 夕或乙：r 刀o 时，定理2 显然成立。现在设任意 E ，( 刀2 历，当= 1 时，乙，口为星图，定理2 显然成立。当2 时，设树乙，中最大顶点度为噍。， ) = p 2 。在树乙中存在一顶点 V 乙，且满足： ：，( 1 ，) = 乃啊，_ ，_ 。，乍。) ，这里 噍，( v f ) 2 ( f = 1 ，2 ，歹) 且噍。，( ) = = 噍，( 一，) = 1 o I ：在，( 匕) 、
5、 田中的每个顶点度为1 ( t = l ，2 ，) 。这里 2 g P ，1 I | f ( 曰一1 ) 。 图Z 我们对树瓦，做以下变换厂：选择度最大的顶点甜和满足上述条件的顶点 1 ，删去边q ，再用边q 连接顶点材和H ，得到树丁疗，( t = 1 ，2 ，) ，这 T t n 的最大匹配数仍为，由引理3 知，。足l ( 乙，) 2 f l ，且瑶兰E c a s e2 ：设_ 勃 ) 中无悬点若在勃 ) 中所有顶点度均等于2 ，这时只要 移树夏，中的一条悬边，连接到乇中的顶点甜，得到树殇，矗 ) 中只有 两个1 度点，这时树易最大匹配数仍为且殇兰E ( n = 2 f l + 1 )
6、。若在 毛 ) 中存在有顶点度大于等于3 ，设“。声 ) 且d ) 3 ，这时再做 g 变换，在顶点“上依次移去d 。) 一1 条悬边，连接到夏，中的顶点铭，这时 保持不变，这样d 似) 中有1 度点，可归结到C a s e1 注意到：在上述整个变换过程中最大匹配数保持不变，且由引理3 知，在 整个厂和g 变换过程中顶点度倒数之和不断增大，直到乙兰殇，卢( n = 2 f 1 ) 或乙“z 刀o ( n 2 f 1 ) ，因此，定理2 证毕。 给定匹配数的树的零阶广义R 胁d i c 指标的界 2 2 一类具有最大和最小。心指标的树图( 一l 口 l ，口O ) 引理4 ：设厂( x ) =
7、X a G l 广- ( 2 口- 1 ) ，这里x 为不小于2 的整数，则 i ： 厂( x ) 0 如果0 口 1 i i ：f O ) 0 如果- 1 口 0 证明：显然，如果x = 2 ，则八x ) = 0 。现在我们考虑x 3 ，运用拉格朗日中值 定理，我们可得存在一点磊( x - 1 ，工) ，使得，- ( x 1 ) 口= 簖- 1 ，以及存在 一点色( 1 ，2 ) ，使得( 2 口一1 ) = 蠼- 1 。因此 厂( x ) = X a 一 一1 ) 口- ( 2 口- 1 ) = 口( 畀q 一嚣- 1 ) 。注意到当x 3 时， 0 色 点。再由拉格朗日中值定理，存在一点
8、孝( 磊，缶) ，使得 口( 笄- 1 一嚣- 1 ) = 口( 口一1 ) 尸- 2 ( 磊一彘) 。显然，孝口- 2 和( 磊一磊) 是正数。因此， 如果O 口 1 ，则厂O ) 0 ；如果一1 口 0 。引理4 得证 咖5 町= 号铲一譬m 灿 州) 且刀2 p ，2 ，则 i ：厂( x ) 0 如果0 口 1 i i f ( x ) 0 如果- I 口 0 硼：首先我l f 注蔚，如果舻等棚炒G ) 0 0 现在我们分下面两种情 况考虑： C a s e 1 当o x 可n - 1 则有o 筇- x r t - x - 1 函数m ) 一阶导数百O f ( x ) = - a ( 弋
9、f l - 1 两) ( n - 厂x - 一1 ) a - + 口x 口- l 渤 I 一l 厂 口f ( x 一x ) 口。一( ，l x 一1 ) 口- 1 1 ( 一l 尸- 1 给定匹配数的树的零阶广义 h i l d i c 指标的界 显然，( 夕一l 尸叫是正数，如果口 1 ，( 够一x 广一一伽一X - - 1 ) ”1 也是正数 这样，对o x 可n - 1 ，当o 口 l ，函数f ( x ) 是单调递增的；当 - l a O , 函数f ( x ) 是单调递枞眦对等，当 0 口 1 ，函数厂( x ) o ；当一l 口 0 ，函数厂 ) o 。 C a s e2 当可n
10、- 1 x 刀一l ，则。 刀一x 一1 筇一x ，函数f ( x ) 的 一阶导数掣=-a(fl矿-1)(n-x-1)=q+群以 = 丛望二三芝二生二苎二! 芝! ( 夕一1 ) 口- 显然，( 一1 ) 口。是正数，当口 1 时，( x , O x ) 口一一伽一x 1 ) 口一1 是负数。这 样，当可n - 1 x 刀一l ，如果O a r l , i 霾数似) 为单调递减的；如果 一1 口 o ，函数厂( x ) 为单调递增的。 因此，当等x 刀一l ，如果 0 口 1 ，函数厂( 曲0 ；当一l 口 0 ，函数厂( 功o 。故综合上述两 种情况，引理5 得证。 定义k ( 丁) =
11、d 尸，对任意乙r 一，设l y ( 瓦) l = 刀，为最 大匹配数。通过简单计算，我们有 ，z = I y ( 乙，) l ：兰( d ( 飞) _ 1 ) + + 1 口 = d ( 飞) + 1 即杰d ( 飞) = 刀一1 ，于是我们可得 ( 2 2 1 ) 给定匹配数的树的零阶广义R a n d i c 指标的晃 。R o ( r ，) = 2 + 兰( d ( 飞) 一2 ) + ( 一1 ) 2 口+ 至d ( 飞) 口 = ( n - 1 ) + ( 一1 X 2 口_ 2 ) + 兰d ( 飞尸 现在我们先计算羔d ( 飞) 口的值。 引理6 ：对任意乙EF 厅，卢，则 i
12、 ：喜弧邝了p ( n - O 球当O a l 像2 2 ) i i ：喜弧) 口1 f l ( n - - 1 ) “ 当水口 。 ( 2 2 3 ) 1 5 在( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 式中等式成立当且仅吸且霓= 可n - I 证明：先假设0 口 1 ，置厂= 1 - a ，P = 1 a 和q = I y ，使得 1 p + l q = 1 。由H O l d e ri n e q u a l i t y ，我们得到 d ( 飞) 口l ，( d ( 飞尸) i ( 1 ) i = ( d ( 、) ) - 1 ( 1 ) ， 88 l 8 1 88 = ( n - 1
13、吨= 等 等号成立当且仅当( d ( 飞) 口) p = M 1 9 ，即d ( 飞) = M ，这里M 为常数且 ( 扛1 2 ，鼽自等式( 2 2 1 ) ，我f f 隋也) 州= 等。这样，在( 2 2 2 ) 式中，等号成立当且仅致且后= 可n - 1 不等式( 2 2 3 ) 是( 2 2 2 ) 的一个间接结果。事实上，当口0 ，柯西一许 瓦兹不笺吉建们右 给定匹配数的树的零阶广义P - d u i d i c 指标的界 pIl口IpI i i = ( d ( 飞尸) - ( d ( 飞) 一口) j ( d 氓广) _ ( d ( 飞) 一口) i 因此，当一1 口 0 ，由不等
14、式( 2 2 2 ) 则有 和嘉孕2 = 譬 等号成挡且仅当且七= 了n - 1 故棚证靴 定理3 设任意乙C 仍2 ) ，则 。碱班”1 ) + ( 删2 口- 2 ) + 竽揪删 ( 2 2 4 ) u 孙柚堋- 1 ) - 2 ) + 竽兰i - l a O ( 2 2 5 ) 在( 2 2 4 ) 或( 2 2 5 ) 中等式成立当且仅当r 易且七= 等 1 6 证明：对任意乙E ，r o m p = 1m l J T , , 是星图，定理3 显然成立。现在我 n + m - mp 2 ，且对用归纳证明。因为乙E 为树图，于是存在顶点 U y ( 乙，) ，使得N ( u ) = u
15、o ，“l ，u k - 1 ) ( 后2 ) ，d ( u o ) 2 且 d ( ) = 1 ( 1 i k - 1 ) 。先设O 口 1 R d = d ( u o ) 易知，我们选择顶 点扰满足：乙，一U U 0 = ，伊lU 乙，由归纳假设，我们有 。疋( 乙，夕) = o R ( ，户1 ) + 七口+ ( 七一1 ) + d 口+ ( d 1 ) 口 ( n - k - 1 ) + ( 一2 ) ( 2 口一2 ) + 量壁二铲 + 后口+ ( 七- 1 ) + d 口- ( d - 1 ) 口 给定匹配数的树的零阶广义l h l l d i c 指标的界 啪- 1 ) + 胪- 2 ) + 譬一竽 1 7 + ( f l - _ 1 ) 巧( f n - x k - 1 一) 口+ k 口一( 2 口一1 ) + d 口一( d 1 ) 口 一1 ) 、7、7 跏1 ) + ( 纠胆- 2 ) + 竽 由引理4 、引理5 和引理6 知，当0 口 1 ， 。见( u 如- 1 ) + ( 纠) ( 2 口_ 2 ) +
