现代控制理论第一章讲义

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1、现代控制理论基础,教材：现代控制理论 天津大学 刘豹 主编,主要参考书：现代控制工程绪方胜彦 Modern Control Engineering KATSUHIKO OGATA,现代控制理论 状态空间表达式 一阶微分方程组（或差分方程组） 输入量 - 状态 - 输出量 之间的关系 反映系统的全部独立变量的变化,引言,经典控制理论 常微分方程或传递函数 输入量 - 输出量 之间的关系,控制系统的时域表示是现代控制理论和系统优化理论的基础。 所谓时域，是指以时间为基本变量域。时域方法采用时间尺度t来描述系统及其响应，随着数字计算机性能的不断提高，采用时域分析方法来对控制系统进行研究将更加便捷。

2、控制系统的时域表示 状态空间分析法 现在控制理论的基础。,第一章 控制系统的状态空间表达式 6学时 第二章 控制系统状态空间表达式的解 6学时 第三章 线性控制系统的能控性和能观性 10学时,现代控制理论基础,1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一) 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) 1.5 状态矢量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 1.7 离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式,第一章 控制系统的状态空间表达式,1.1 状态变量及状态空间表达式

3、一、 状态空间的基本概念 1状态变量 2状态矢量(状态向量) 3状态空间 二、控制系统的状态空间描述状态空间表达式 状态方程 输出方程 状态空间表达式 状态空间表达式的系统方块图,能完全描述系统运动状态的最小变量组，它是时间的函数 。,状态变量,完全描述：当给定了这个最小变量组在初始时刻t=t0时的值(即初始状态已知)，以及tt0时的输入函数，那么tt0任何时刻下的系统状态能完全且唯一地被确定。,最小变量组：这个变量组中各变量之间是相互独立的。,一、 状态空间的基本概念,状态变量在tt0某一时刻的值：系统在该时刻的状态。,系统中独立储能元件的个数决定了状态变量的维数。,2、状态矢量（状态向量）

4、,如果状态变量用 ， ， 表示，并把这些状态变量看作是矢量 的分量，则 就称为状态矢量。记为：,以变量 为坐标轴所构成的 维空间，称为状态空间。 在特定时刻 ，状态矢量 在状态空间中是一点。 已知初始时刻 的 ，就得到状态空间中的一个初始点。 随着时间的推移， 将在状态空间中描出一条轨迹，称为状态轨线。,3、状态空间,例1：设有如图1-1所示R-L-C网络，其输入量为电压源电压，输出量为电容两端电压。,根据电学原理：,取uc和i为状态变量x1和x2 ：,1、状态方程,2、输出方程,3、状态空间表达式,状态方程+输出方程,二、控制系统的状态空间描述状态空间表达式 状态空间表达式 用状态空间描述自

5、动控制系统，所使用的数学模型是状态空间表达式。它是输入状态输出之间关系的数学表达式，状态表达式包括： 状态方程和输出方程。,1、状态方程： 由系统状态变量构成的一阶微分方程组。各方程组的左端分别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量所组成的代数多项式。状态方程用于描述系统内部状态运动规律。,2、输出方程： 在指定输出的情况下，该输出变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。,例1：设有如图1-1所示R-L-C网络，其输入量为电压源电压，电容两端电压。,根据电学原理：,取uc和i为状态变量x1和x2 ：,1、状态方程,2、输出方程,3、状态空间表达式,状态方程+输出方程,状态变化

6、与 状态和输入 之间的关系,输出 与 状态和输入 之间的关系,例2：设有如图1-2所示弹簧-质量-阻尼组成的机械动力学系统，其输入量为外作用力 ，输出量 为质量块的位移。,根据牛顿定律，系统运动方程为：,和 为该系统的状态变量 。,若,m,u(t),y(t),k,Be,1、状态方程,2、输出方程,3、状态空间表达式,状态方程+输出方程,设单输入单输出线性定常系统，状态方程的一般形式为：,输出方程有如下形式：,用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：,3、状态空间表达式,对于一个复杂的线性定常系统，设该系统具有 个状态变量 个输入变量 个输出,状态方程为 ：,输出方程不仅是状态变量的组合，还有输入矢

7、量的直接传递：,矢量矩阵的形式 ：,系统矩阵,1.1 状态变量及状态空间表达式 一、 状态空间的基本概念 1状态 2状态变量 3状态矢量(状态向量) 4状态空间 二、控制系统的状态空间描述状态空间表达式 状态方程 输出方程 状态空间表达式,对于同一个系统，究竟选取哪些变量作为状态变量不是唯一的，重要的是这些变量应该是相互独立的，状态变量的个数是唯一的。一个 阶系统，有且仅有 个独立状态变量可以选取。,小结,“状态”是系统的内部变量，它全面表征系统的内部动态特性。系统的输出和系统的状态在概念上是不同的。输出是人们希望从系统中所要获得的结果，而状态是完全描述系统运动状态的一组信息。通常，输出是状态

8、的函数，在线性系统中，输出可以是状态变量中的一个或某几个变量的线性组合。在物理上输出总是可以测取的，而状态变量并不一定是可以直接测取的，有的状态可能还没有具体的物理意义。 当然，对于简单的物理系统，在实际中应尽量选择在物理上易于测取的变量作为状态变量。,1.1 状态变量及状态空间表达式 一、 状态空间的基本概念 1状态 2状态变量 3状态矢量(状态向量) 4状态空间 二、控制系统的状态空间描述状态空间表达式 状态方程 输出方程 状态空间表达式,对于一个复杂的线性定常系统，设该系统具有 个状态变量 个输入变量 个输出,状态方程为 ：,输出方程不仅是状态变量的组合，还有输入矢量的直接传递：,矢量矩

9、阵的形式 ：,系统矩阵,1.1 状态变量及状态空间表达式 一、 状态空间的基本概念 1状态 2状态变量 3状态矢量(状态向量) 4状态空间 二、控制系统的状态空间描述状态空间表达式 状态方程 输出方程 状态空间表达式 1.2 状态空间表达式模拟结构图,4、状态空间表达式的系统方框图,它们既表征了输入对于系统内部状态地因果关系，又反映了系统内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。,b,x,.,+,+,y,x,A,u,.,B,x,+,+,y,x,A,u,.,D,+,+,模拟结构图反映系统各状态变量之间的信息传递关系,1.2 状态空间表达式模拟结构图,1、根据微分方程

10、来绘制模拟结构图,2、根据一阶微分方程组来绘制模拟结构图,有几个状态变量，就有几个积分符号。,1、根据微分方程来绘制模拟结构图,对3阶微分方程,2、根据一阶微分方程组来绘制模拟结构图,1.3 状态空间表达式的建立,一、由系统方框图来建立,二、由系统的机理出发建立,一、由系统方框图来建立,输出方程,状态空间表达式,状态方程,例,例 电网络的状态空间表达式,二、由系统的物理或化学的机理出发建立,例 弹簧阻尼质量块网络的状态空间表达式,二、由系统的物理或化学的机理出发建立,例 机械旋转运动的状态空间表达式,二、由系统的物理或化学的机理出发建立,例 直流他励电动机的状态空间表达式,二、由系统的物理或化

11、学的机理出发建立,1.4 状态空间表达式的建立（二）,实现问题 运动方程式或传递函数 状态空间表达式 保持原传递函数所确定的输入、输出关系 揭示系统的内部关系,1.4 状态空间表达式的建立（二）,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现 1.4.2 传递函数中有零点时的实现 1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,系统的微分方程： 系统的传递函数：,把中间变量作为负反馈的串联系统,注意：状态变量的选取 由输出方程可知：,友矩阵,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,例,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,系统的微分方程： 系统的传递函数：,1.4

12、.2 传递函数中有零点时的实现,三阶微分方程为例,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,推广到阶系统,有零点时与无零点时相比： 状态方程相同，输出方程不同,有零点与无零点的统一式,1.4 状态空间表达式的建立（二）,实现问题 运动方程式或传递函数 状态空间表达式 保持原传递函数所确定的输入、输出关系 揭示系统的内部关系,1.4.1 传递函数中没有零点时的实现,系统的微分方程： 系统的传递函数：,把中间变量作为负反馈的串联系统,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,系统的微分方程： 系统的传递函数：,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,三阶微分方程为例,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,推

13、广到阶系统,有零点与无零点的统一式,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,实现方法：输入叠加,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,推广到阶系统,1.4.2 传递函数中有零点时的实现,例,1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现,以双输入一双输出的三阶系统为例 系统的微分方程：,1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换),1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性 1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量 1.5.3 状态空间表达式变换为约旦标准型 1.5.4 系统的并联实现,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,选取不同的状态矢量，不同的状态空间表达式 选取的不同状态矢量之间为线性变换

14、(或称坐标变换)关系。 对于给定系统： 选任意非奇异矩阵T（变换矩阵）： 得到新的状态空间表达式：,1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性,例1-8 系统状态空间表达式： 1）变换矩阵 2）变换矩阵 3）控制矩阵变换为,1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量,1系统特征值 2特征值的不变性与系统的不变量 3特征矢量,1系统特征值,系统矩阵A的特征值； 特征方程 的根。 实际物理系统中，A为实数方阵，特征值为实数或成对共轭复数； A为实数对称方阵，特征值为实数。,2特征值的不变性与系统的不变量,系统的非奇异变换，不改变系统的特征值 方程 与方程 的根相同。 系统的不变量： 系统特征多项式

15、的系数不变,3特征矢量,一个 n维矢量 经过A作为变换阵的变换，得到一个新的矢量 。 如果 ( 为标量，是变换阵A的特征值）即矢量 经A线性变换后，方向不变，仅长度变化 倍， 称为A的对应于 的特征矢量，此时有：,3特征矢量,例1-9 求 的特征矢量,1.5.3 状态空间表达式变换为约旦标准型,求变换矩阵T，将系统矩阵A转换为约旦标准型矩阵（对角线矩阵）J。,1.5.3 状态空间表达式变换为约旦标准型,由系统矩阵A特征值，可得系统的约旦标准型矩阵J。,特征值有q个重根时：,特征值无重根时：,1.5.3 状态空间表达式变换为约旦标准型,为求得变换后状态空间表达式，包括控制矩阵T-1B、输出矩阵CT，需求变换矩阵T。 A阵为任意形式 A阵特征值无重根时 A阵特征值有重根时 A阵为标准型 A阵特征值无重根时 A阵特征值有重根时 A阵特征值有共轭复根时 已知系统传递函数 特征值无重根时 特征值有重根时,1. A阵为任意形式，特征值无重根时,设 是A的n个互异特征根(i=1，2，n)， 求出 的特征矢量 ，则变换矩阵T为：,1.