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1、第六章 相关与回归分析,第六章 相关与回归分析,一 变量间的相关关系 二 一元线性回归 三 多元线性回归 相关分析 开篇案例：开篇案例5.doc,学习目标,1. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法 2. 掌握回归方程的显著性检验 利用回归方程进行预测 掌握多元线性回归分析的基本方法 了解可化为线性回归的曲线回归 掌握相关系数的含义、计算方法和应用 用 Excel 进行回归分析,一 变量间的相关关系,1 . 相关关系的含义 2 . 相关关系的种类,相关关系的含义,变量间的关系 （函数关系）,（1）是变量之间客观存在的，在数量变化上按一定法则严格确定的相互依存关系 （2）设有两个变
2、量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量,变量间的关系 （函数关系）, 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,变量间的关系 （相关关系）,（1）变量间客观存在的，在数量变化上受随机因素
3、影响的不确定的相互依存关系 （2）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 （3）当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 （4）各观测点分布在直线周围,变量间的关系 （相关关系）, 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温度(x3)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的种类,（1）从涉及的因素看，分为单项关和复相关 （2）从散点图上观察，分为直线相关和曲线相关 （3）从变量之间的变化方向来看，
4、分为正相关和负相关,对于变量之间相关关系的分析，可以沿着两条途径展开：其一是分析变量之间相关关系的密切程度，称为相关分析；其二是研究变量之间的变动关系，用一个数学方程描述这种变动关系，称为回归分析。在回归分析中，又可分为线性回归与非线性回归，其中线性回归是整个回归分析的基础，而一元线性回归分析又是线性回归的基础。,二 一元线性回归分析,1. 一元线性回归模型与一元线性回归方程 2. 参数的最小二乘估计 3. 离差平方和的分解 4. 求估计标准误差 5. 回归方程的显著性检验 6. 利用回归方程进行预测 7.对总体回归方程参数的估计,一元线性回归模型, 一元线性回归模型可表示为 y = b0 +
5、 b1 x + e 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型 （基本假定）,(1)误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x (2)对于所有的 x 值，的方差2 都相同 （3）误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值
6、，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,一元线性回归方程,（1）描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 （2）简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计(经验)的回归方程,（3）简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给
7、定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,（2）用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,（1）总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,参数 的最小二乘估计,最小二乘法 （概念要点）,（1）使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,（2）用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘法 （图示）,最小二乘法 （ 和 的计算公式）,根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下（教材P136 例7-1）excel上机操作相关与回归分析相
8、关与回归分析例题.xls,离差平方和的分解,（1）因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 （2）对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示,离差平方和的分解 （图示）,离差平方和的分解 （三个平方和的关系）,（2） 两端平方后求和有,（1）从图上看有,Lyy = U + Q,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总平方和 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响
9、，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,估计标准误差 Sy,计算公式为 2. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 excel上机操作相关与回归分析相关与回归分析例题.xls,回归方程的显著性检验 （检验的步骤）,提出假设 H0：1=0 H1：10,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,接受H0,回归方程的显著性检验,教材
10、P143例7-2 excel上机操作相关与回归分析相关与回归分析例题.xls,利用回归方程进行预测,根据自变量 x 的取值预测（或估计）因变量 y的取值 估计或预测的类型 点估计 对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值 区间估计 教材P143的公式 对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间,对总体回归方程参数的估计,利用样本回归方程中 的值可以估计总体回归方程 的置信区间。当然，这种区间估计要依赖于样本回归方程参数的分布情况。 教材P145 excel上机操作相关与回归分析相关与回归分析例题.xls 教材P167习题
11、 excel上机操作相关与回归分析课后习题.xls,三 多元线性回归分析,1. 多元线性回归模型与多元线性回归方程 2. 回归方程参数的估计 3. 回归方程的显著性检验 4. 回归系数的显著性检验,多元线性回归模型与多元线性回归方程,多元线性回归模型 （概念要点）,（1）一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 （2） 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型 （3）涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为,b0 ，b1，b2 ，bp是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 说明了包含在
12、y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性,多元线性回归模型 （基本假定）,（1）自变量 x1，x2，xp是确定性变量，不是随机变量 （2）随机误差项的期望值为0，且方差2 都相同 （3）误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0,2)，且相互独立,多元线性回归方程 （概念要点）,（1）描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x1， x1 ，xp的方程称为多元线性回归方程 （2）多元线性回归方程的形式为 E( y ) = 0+ 1 x1 + 2 x2 + p xp,b1，b2，bp称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均平均变动值,多元线性回归的
13、估计(经验)方程,（1）总体回归参数 是未知的，利用样本数据去估计,（2）用样本统计量 代替回归方程中的 未知参数 即得到估计的回归方程,是 估计值 是 y 的估计值,参数的最小二乘估计,参数的最小二乘法 （要点）,根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数 的标准方程,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即,回归方程的显著性检验,回归方程的显著性检验 （线性关系的检验 ）,检验因变量与所有的自变量之间是否存在显著的线性关系，检验方法是应用 F 检验 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系,回归方程的显著性检验 （步骤）,
14、（1）提出假设 H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，p至少有一个不等于0,（2） 计算检验统计量F,（3） 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1，找出临界值F （4） 作出决策：若FF ，拒绝H0；若FF，接 受H0,回归系数的显著性检验 （要点）,（1）如果F检验已经表明了回归模型总体上是显著的，那么回归系数的检验就是用来确定每一个单个的自变量 xi 对因变量 y 的影响是否显著 （2）对每一个自变量都要单独进行检验 （3）应用 t 检验 （4）在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于回归系数的显著性检验,回归系数的显著性检验 （步骤）,（1）提出假设 H0
15、：bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1：bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系) （2）计算检验的统计量 t,（3） 确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，接受H0,关于多元线性回归分析的练习： excel上机操作相关与回归分析相关与回归分析例题.xls excel上机操作相关与回归分析课后习题.xls excel上机操作相关与回归分析课外习题.xls,四 相关分析,1 . 相关系数含义的计算 2 . 相关系数的取值范围 3.相关系数的显著性检验,相关系数的含义及计算,相关系数反映两个变量之间线性相关关系的密切程度和相关关系的方向样本相关系数用 r 表示，总体相关系数用 表示； 将回归平方和占总离差平方和的比例定义为判定系数 （相关系数的平方）。, 样本相关系数的计算公式,或化简为,相关系数的取值范围,（1） r 的取值范围是 -1,1 （2）|r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负相关 （3） r = 0，不存在线性相关关系 （4）-1r0，为负相关 （5）0r1，为正相关 （6）|r|越趋于1表示线性相关关系越密切；|r|越趋于0表示线性相关关系越不密切,r,判断以下各图中相关系
