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1、 函数的单调性和奇偶性例1 （1）画出函数y-x2+2x+3的图像，并指出函数的单调区间解：函数图像如下图所示，当x0时，y-x2+2x+3-（x-1）2+4；当x0时，y-x2-2x+3-（x+1）2+4在（-，-1和0，1上，函数是增函数：在-1，0和1，+）上，函数是减函数评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上（2）已知函数f（x）x2+2（a-1）x+2在区间（-，4上是减函数，求实数a的取值范围分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解：f（x）x2+2（a-1）x+2x+（a-1）-（a-1）2+2，此
2、二次函数的对称轴是x1-a因为在区间（-，1-a上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-，4上单调递减，对称轴x1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a4，a-3评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合例2 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） - （2）f（x）（x-1） 解：（1）f（x）的定义域为R因为f（-x）-x+1-x-1 x-1-x+1-f（x）所以f（x）为奇函数（2）f（x）的定义域为x-1x1，不关于原点对称所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域
3、是否关于原点对称（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）f（x）或f（-x）-f（x）之一是否成立f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）f（x）0是否成立，从而判断函数的奇偶性例3 已知函数f（x） （1）判断f（x）的奇偶性（2）确定f（x）在（-，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+）上呢?证明你的结论解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x） f（x），所以f（x）为偶函数（2）f（x）在（-，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+）上为减函数其证明：取x1x20，f（x1）-f（x2） - 因为x1x20，所以x2-x10，x1
4、+x20，x21+10，x22+10，得 f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以f（x）在（-，0）上为增函数评析 奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反例4 已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+）上是增函数，且f（x）0，试问F（x） 在（-，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论分析 根据函数的增减性的定义，可以任取x1x20，进而判定F（x1）-F（x2） - 的正负为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出解：任取x1、x2（-，0）且x1x2，则有-x1-x20
5、yf（x）在（0，+）上是增函数，且f（x）0，f（-x2）f（-x1）0 又f（x）是奇函数，f（-x2）-f（x2），f（-x1）-f（x1） 由、得 f（x2）f（x1）0于是F（x1）-F（x2） 0，即F（x1）F（x2），所以F（x） 在（-，0）上是减函数评析 本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+）内任取x1x2，展开证明这样就不能保证-x1，-x2，在（-，0）内的任意性而导致错误避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动例5 讨论函数f（x） （a0）在区间（-1，1）内的单调性分析 根据函数的单调性定义求解解：设-1x1x2，则f（x
6、1）-f（x2） - x1，x2（-1，1），且x1x，x1-x20，1+x1x20，（1-x21）（1-x22）0于是，当a0时，f（x1）f（x2）；当a0时，f（x1）f（x2）故当a0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a0时，函数在（-1，1）上为减函数评析 根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性例6 求证：f（x）x+ （k0）在区间（0，k上单调递减解：设0x1x2k，则f（x1）-f（x2）x1+ -x2-
7、 0x1x2k，x1-x20，0x1x2k2，f（x1）-f（x2）0f（x1）f（x2），f（x）x+ 中（0，k上是减函数评析 函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质因此，若要证明f（x）在a,b上是增函数（减函数），就必须证明对于区间a,b上任意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f（x1）f（x2）（f（x1）f（x2）类似可以证明：函数f（x）x+ （k0）在区间k，+上是增函数例7 判断函数f（x） 的奇偶性分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号解：由 得函数的定义域为-1，1这时，x-22-xf（x） ，f（-x
8、） f（x）且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x） 是偶函数，不是奇函数评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程函数奇偶性练习一、选择题1已知函数f（x）ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）ax3bx2cx（）A奇函数B偶函数C既奇又偶函数D非奇非偶函数2已知函数f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（）A，b0Ba1，b0 Ca1，b0Da3，b03已知f（x
9、）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x22x，则f（x）在R上的表达式是（）Ayx（x2）By x（x1）Cy x（x2）Dyx（x2）4已知f（x）x5ax3bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A26B18C10D105函数是（）A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数6若，g（x）都是奇函数，在（0，）上有最大值5，则f（x）在（，0）上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3二、填空题7函数的奇偶性为_（填奇函数或偶函数）8若y（m1）x22mx3是偶函数，则m_9已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_10已知函数f（x）为偶函
10、数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）0的所有实根之和为_三、解答题11设定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围12已知函数f（x）满足f（xy）f（xy）2f（x）f（y）（xR，yR），且f（0）0，试证f（x）是偶函数13.已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）x32x21，求f（x）在R上的表达式14.f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在5，）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明15.设函数yf（x）（xR且x0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1x2）f（x1）f（x2）
11、，求证f（x）是偶函数函数的奇偶性练习参考答案1解析：f（x）ax2bxc为偶函数，为奇函数，g（x）ax3bx2cxf（x）满足奇函数的条件答案：A2解析：由f（x）ax2bx3ab为偶函数，得b0又定义域为a1，2a，a12a，故选A3解析：由x0时，f（x）x22x，f（x）为奇函数，当x0时，f（x）f（x）（x22x）x22xx（x2）即f（x）x（|x|2）答案：D4解析：f（x）8x5ax3bx为奇函数，f（2）818，f（2）818，f（2）26答案：A5解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（x）f（x）0答案：B6解析：、g（x）为奇函数，为奇函数又f（x）在（0，）上有最
12、大值5，f（x）2有最大值3f（x）2在（，0）上有最小值3，f（x）在（，0）上有最小值1答案：C7答案：奇函数8答案：0解析：因为函数y（m1）x22mx3为偶函数，f（x）f（x），即（m1）（x）22m（x）3（m1）x22mx3，整理，得m09解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得，联立，答案： 10答案：0 11答案：12证明：令xy0，有f（0）f（0）2f（0）f（0），又f（0）0，可证f（0）1令x0，f（y）f（y）2f（0）f（y）f（y）f（y），故f（x）为偶函数13解析：本题主要是培养学生理解概念的能力f（x）x32x21因f（x）为奇函数，f（0）0当x0时，x0，f（x）（x）32（x）21x32x21，f（x）x32x21因此，点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力14解析：任取x1x25，则x1x25因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即单调减函数点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化15解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1x21代入可证，f（1）2f（1），f（1）0又令x
