《全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.9直线与圆锥曲线的位置关系课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.9直线与圆锥曲线的位置关系课件理（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节 直线与圆锥曲线的位置关系,【知识梳理】 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 代数法:把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程ax2+bx+c=0.,无公共点,一个交点,不等,两个交点,一个交点,无交点,2.弦长公式 设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点, A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=_=_ 或|AB|= =_.,【特别提醒】 1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切. (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切. (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.,2.直线与抛物线位置关系的有关结论 (
2、1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一 个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一 个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.,(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线.,3.直线与双曲线位置关系的有关结论 (1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点,两条切线和两条与渐近线平行的直线.,(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,一条切线和两条与渐近线平行的直线. (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,两条与渐
3、近线平行的直线.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P69例4改编)直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为 .,【解析】当直线l的斜率不存在时,显然不成立. 设直线l的斜率为k,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 因为直线l过焦点F(1,0), 故直线l的方程为y=k(x-1). 由 得k2(x-1)2=4x, 即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则 所以|AB|=,所以k2=1,故k=1. 所以直线l的方程为y=(x-1), 即x-y-1=0或x+y-1=0. 答案:x-y-1=0或x+y-1=0,2.
4、(选修2-1P81B组T1改编)已知F1,F2是椭圆16x2+25y2 =1600的两个焦点,P是椭圆上一点,且PF1PF2,则 F1PF2的面积为 .,【解析】由题意可得|PF1|+|PF2|=2a=20, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=144=(|PF1|+|PF2|)2- 2|PF1|PF2|=202-2|PF1|PF2|, 解得|PF1|PF2|=128, 所以F1PF2的面积为 |PF1|PF2|= 128=64. 答案:64,感悟考题 试一试 3.(2015四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,
5、且M为线段AB 的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),【解析】选D.当直线与x轴垂直的时候,满足条件的直线有且只有2条. 当直线与x轴不垂直的时候,由对称性不妨设切点M(5+rcos,rsin)(0),则切线的斜率: kAB= ,又M为AB中点,由点差法可求得,kAB= , 所以r= ,r2. 由于点M在抛物线内,所以y24x,将坐标代入可求得r4, 综上,2r4.,4.(2016郑州模拟)过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角 为135的直线交抛物线于A,B两点,则弦AB的长为 ( ) A.4 B.8 C.12 D
6、.16,【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),直线AB的倾斜角为135,故直线AB的方程为y=-x+2,代入抛物线方程y2=8x,得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦AB的长|AB|=x1+x2+4=12+4=16.,5.(2016承德模拟)如图,F是椭圆 =1(ab0) 的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为 . 点C在x轴上,BCBF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线 l1:x+ y+3=0相切.则椭圆的方程为 .,【解析】由已知设F(-c,0),B(0, c), 因为kBF= ,kBC=- ,C(3c,0),且圆M的方程为(
7、x- c)2+y2=4c2,圆M与直线l1:x+ y+3=0相切, 所以 =2c,解得c=1, 所以所求的椭圆方程为 =1. 答案: =1,考向一 直线与圆锥曲线位置关系的确定及应用 【典例1】(1)过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线 ( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条,(2)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. 求轨迹C的方程; 设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应
8、取值范围.,【解题导引】(1)由于过焦点垂直于轴的弦只有一条,且此时弦长最小,因此只需看该弦与弦AB的关系即可. (2)可依据题设条件直接写出轨迹C的方程;直线方程与轨迹C的方程联立,利用方程的解与直线与轨迹C交点间的关系即可求解.,【规范解答】(1)选B.设该抛物线焦点为F,A(xA,yA), B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA+ +xB+ =xA+xB+1=3 2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.,(2)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即 =|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x). 故点M的轨迹C的方程为,在点M的轨迹C中,记C1:y2=
9、4x(x0),C2:y=0(x0). 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2). 由方程组 可得ky2-4y+4(2k+1)=0. 当k=0时,此时y=1.,把y=1代入轨迹C的方程,得x= . 故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点 当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1). 设直线l与x轴的交点为(x0,0), 则由y-1=k(x+2), 令y=0,得x0= ,()若 由解得k . 即当k(-,-1) 时,直线l与C1没有公共点, 与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公 共点.,()若 或 由解得k 或- k0. 即当k 时,直线l与C1只有一个公共点,
10、与C2有一 个公共点. 当k 时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共 点.,故当k 时,直线l与轨迹C恰好有两个公 共点. ()若 由解得-1k- ,或0k . 即当k 时,直线l与C1有两个公共点,与 C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共 点.,综上可知,当k(-,-1) 0时,直线l与 轨迹C恰好有一个公共点;当k 时,直线l 与轨迹C恰好有两个公共点;当k 时,直 线l与轨迹C恰好有三个公共点.,【母题变式】如本例1(1)中的“横坐标之和等于2”改为“横坐标之和等于1”结果如何?,【解析】若改为“横坐标之和等于1”, 设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,
11、yB),则|AB|=|AF| +|FB|=xA+ +xB+ =xA+xB+1=2=2p=2.所以符合条件的 直线有且只有一条.,【易错警示】解答本例(2)会出现以下错误: 题目在求直线与轨迹C只有一个交点时,易忽略直线与轨迹C对称轴平行或重合的情况,从而造成漏解.,【规律方法】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点 (1)判定方法:直线与圆锥曲线方程联立,消去x(或y),判定该方程组解的个数,方程组有几组解,直线与圆锥曲线就有几个交点;有时也会考虑数形结合思想.,(2)关注点:联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况.判断直线与圆锥曲线位置关系时,判别式起着关键性的
12、作用,第一:可以限定所给参数的范围;第二:可以取舍某些解以免产生增根.,【变式训练】(2016宝鸡模拟)已知椭圆C: =1 (ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l: y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A,B,点M是直线l与椭圆C 的一个公共点,设 则该椭圆的离心率e= .,【解析】因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点, 所以点A,B的坐标分别是 (0,a). 设点M的坐标是(x0,y0), 由 得,因为点M在椭圆上, 所以 =1, 将(*)式代入,得 =1, 整理得,e2+e-1=0,解得e= . 答案:,【加固训练】 1.直线y=kx+2与抛物线y2=
13、8x有且只有一个公共点,则k的值为 ( ) A.1 B.1或3 C.0 D.1或0,【解析】选D.由 得k2x2+(4k-8)x+4=0, 若k=0,则y=2,若k0,则=0,即64-64k=0,解得k=1, 所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1.,2.已知双曲线 =1与直线y=2x有交点,则双曲线 离心率的取值范围为 ( ) A.(1, ) B.(1, C.( ,+) D. ,+),【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y= x, 则由题意得 2,所以e=,3.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,斜率为 的直线交抛 物线于A,B两点,若 (1),则的值
14、为( ) A.5 B.4 C. D.,【解析】选B.根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得 故-y1=y2,即= 设直线AB的方程为y=,联立直线与抛物线方程, 消元得y2- py-p2=0. 故y1+y2= p,y1y2=-p2, 即 又1,故=4.,考向二 与弦有关的问题 【典例2】(1)(2016莆田模拟)若直线y=kx-k交抛物线y2=4x于A,B两点,且线段AB中点到y轴的距离为3,则|AB|= ( ) A.12 B.10 C.8 D.6,(2)已知椭圆 =1(ab0)的一个顶点为B(0,4), 离心率e= ,直线l交椭圆于M,N两点. 若直线l的方程为y=x-4,求
15、弦MN的长. 如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方 程的一般式.,【解题导引】(1)根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标,求出线段AB的中点到y轴的距离.,(2)可以直接联立方程,把方程组转化成关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解;可利用椭圆的右焦点是BMN的重心这一条件,利用“点差法”可求直线l的斜率,再由点斜式,即可求出直线l的方程.,【规范解答】(1)选C.直线y=kx-k恒过(1,0),恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 抛物线y2=4x的准线x=-1,线段AB中点到y轴的距离为3,x1+x2=6, 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8.,(2)由已知得b=4,且 即 所以 解得a2=20, 所以椭圆方程为 =1. 则4x2+5y2=80与y=x-4联立, 消去y得9x2-40x=0,所以x1=0,x2=
