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1、第三篇 动力学,模型:,研究机械运动与力的作用关系,理论的普遍性:,(包括刚体、机构、弹塑性结构、流体等),直接用于一切动力学,受力的质点系,意 义:,2.动强度设计,1.一切动力学基础,经典动力学,分析动力学,牛顿力学、矢量动力学,(物理中已阐述),两个原理为基础,内容:,动力学,动量主矢变化率与外力主矢关系 动量主矩变化率与外力主矩关系,第五章 动量定理和动量矩定理,5-1 质点动力学方程,5-2 质点系动量定理,5-3 质点系动量矩定理,5-4 动量定理和动量矩定理的应用,目录,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,目录,任何物体具有惯性；力是
2、改变运动的原因。,牛顿在地球上发现，总结于自然 哲学的数学原理。,1.惯性定律,不受力质点，保持静止或匀速直线运动状态(相 对惯性系)。,表明:,2. (对质点),即 ，合力与加速度同时、同向。,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,此时弹力，摩擦力不变:,1. A与B在F作用下匀速运动，已知 突然拆去F，求此时,5-1-1 牛顿三大定律,问题,5-1 质点动力学方程,物块沿斜面运动， 沿斜面。,故合力沿斜面，且大小为,3. 已知 求物体所受合力。,2. 已知 悬挂重物，求绳断时 ?,5-1-1 牛顿三大定律,问题,问题,5-1 质点动力学方程,光滑圆管在水平面匀速转动，管内小球如
3、何运动?,三大定律适应惯性系(地球、地心、日心),不仅适应平衡体，也适应非平衡体。,第3定律可用于非惯性系。,3.作用与反作用定律,在x方向有:,即 小球沿 管向外运动。,5-1-1 牛顿三大定律,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,1.两种形式,投影式,a.直角坐标,b. 弧坐标系,矢量式,b.坐标与坐标导数正向相同。,a.投影式两边正方向相同。,还有柱坐标、球坐标式等。,5-1 质点动力学方程,2.两类问题:,第二类:,第一类:,已知运动求力微分,已知力求运动积分,1.绕线轮与滑块，已知，r，m，f0，求 与x的关系。,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学
4、方程,由 得,研究滑块A,为所求。,注意到:,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,1. 如何可使 与坐标正向一致?,建立图示 坐标,不对，A、B两点均运动。,2. 对吗?,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,设,则,5-1-2 质点的运动微分方程,2.质量为m小球在空气中下落， 阻力大小 试求小球的运动。,5-1 质点动力学方程,运动分析:,此时阻力与重力平衡,空中降落伞很快达到,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,存在极限速度 ，小球趋于等速运动；,5-1-2 质点的运动微分方程,单自由度阻尼自由振动。,3.,5-1 质点动力学方程
5、,5-1-2 质点的运动微分方程,即,(a),物体受力如图(b)，粘性阻尼力 沿物体速度的 相反方向，大小为 ，因数c称为阻力因数。因坐 标原点在静平衡位置，可同时不计弹簧静伸长和重力， 由质点运动微分方程，有,引入无阻尼固有频率 和阻尼因数n,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,式(a)化为如下标准形式,(b),其特征方程为 ，特征根为,(1) 时，为弱阻尼，方程(b)的通解为,与无阻尼自由振动类似，上式可改写为,(c),5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,其中 和 分别为阻尼自由振动的振幅和初相位， 仍取决于初始条件 和 :,由于阻尼作用，振幅 随时
6、间不断衰减。相邻 两个振幅之比为常数，称为减幅因数，记作 ，即,称为阻尼自由振动的固有频率。,(d),5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,式中 为阻尼振动周期，大于无阻尼振动周期，,(e),与t无关，因此有,(f),引入对数减幅因数,或由式(f)表示为,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,(2) 时，为强阻尼，方程(b)的通解为,式中 和 均为实数。,(3) 时，为临界阻尼，对应通解为,显然(2)和(3)中两函数均是非周期性的，可见阻尼 较大时，物体作衰减蠕动。,本例只涉及单自由度质点振动问题，有关系统振 动内容,将在后续的结构力学课程中介绍。,5-1
7、质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,1.若图(a)中阻尼因数 ，则系统退化为无 阻尼自由振动。试比较两种运动的振幅、固有频率与 初相位有何不同?,图(a)中，若阻尼因数 ，系统为无阻 尼自由振动，则微分方程变为,固有频率为,简谐振动为,其中，振幅 ，初相位 。,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,故,依题意，,。所以,为所求。,5-1 质点动力学方程,物体在任 意位置x时，除受重力G、弹性力 F、激振力Fs的作用外，还有线 性粘滞阻力Fd。于是物体沿x轴 的运动微分方程为,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,如图(c)所示，,5-1-2 质点
8、的运动微分方程,上式各项均除以m,并令,则上式写为,这就是阻尼强迫振动的运动微分方程。,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,为积分常数，可由初始条件确定。,式(2)中第一项表示的自由振动部分随时间迅速衰 减直至消失，研究稳态过程时可忽略不计。主要研究 式(2)中第二项表示的强迫振动部分。,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,式(5)表明有阻尼的强迫振动仍为等幅简谐运 动，其振幅与初始条件无关，其振动频率等于激 振力频率，与阻尼无关，但阻尼使位移落后于激 振力一个位相差 。,由式(3)可见，阻尼使振幅减小。将式(3)改写为,5-1 质点动力学方程,5-1-
9、2 质点的运动微分方程,图(d),5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,5-1 质点动力学方程,5-1-2 质点的运动微分方程,(4) 阻尼对振幅影响共振区显著，远离共振区 时不显著，可不考虑阻尼因素。类似地，由式(4) 可研究阻尼和频率对相位差的影响，称为相频特性。,5-1 质点动力学方程,5-2 质点系动量定理,第五章 动量定理和动量矩定理,5-2-1 质点系的动量,5-2-2 质点系动量定理,5-2-3 质心运动定理,目录,(动量系的主矢),1. 已知m,r, ,比较两环 大小?,5-2-1 质点系的动量,5-2 质点系动量定理,问题,位置不对! 应在 处. (向C简化
10、，还有动量主矩 ),问题,5-2 质点系动量定理,5-2-1 质点系的动量,2. 求均质杆合动量 ， 对吗?,1.微分式,2.积分式,3.守恒式,(不一定守恒),(由对质点的动量定理，求和得到),揭示外力主矢与动量变化之关系，形式上 与内力无关。,5-2 质点系动量定理,5-2-2 质点系动量定理,三种形式均有投影式:,，则,5-2-2 质点系动量定理,若,，则,若,5-2 质点系动量定理,与 成 角,方向:,问题 1.,5-2-2 质点系动量定理,圆锥摆，已知 试求半周期内绳张力冲量,5-2 质点系动量定理,描述了质系质心加速度与外力主矢的关系。,1.定理,对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面
11、。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,2.质心守恒(不动),对!,经,故有,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,(左移),问题,5-2-3 质心运动定理,1. 已知 力偶M使B转 后，求 。,5-2 质点系动量定理,2. 均质杆长为l，在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹?,杆质心C沿铅直线运动。,设任意时刻t，状态如图,5-2-3 质心运动定理,问题,，为椭圆轨迹。,5-2 质点系动量定理,5-2-3 质心运动定理,1.物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由静止开始 运动。已知 。B在2s内前移 5m，不计B与地面摩擦。试求A在B内移动距离(B足够长)。,5
12、-2 质点系动量定理,研究整体:,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,无相对运动时:,经时间t1，发生第1次碰撞。碰后A与B相对速度大小不变。,1. 为什么 =常量?,A对B的摩擦力大小为 ，是常量。,2. 若给定B长4m, 完全弹性碰撞以后情形?,(有向后与向前之区别),有相对运动时:,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,2.曲柄滑槽机构。已知 ，G 为导杆重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 试求支座O动约束力。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,由质心运动定理,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点
13、系动量定理,偏心电机转动时，已知 ，支座动约束力 多大?,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,上式在x，y方向投影,解之得:,可见,3.炮车放炮。已知 (对地)， 求反冲速度 。,5-2-3 质心运动定理,5-2 质点系动量定理,可见 一定时, 大小一定，且,1. 不计空气阻力， ?射程最远。,2. 炮台放炮（高h） ?射程最远。,此时,要使水平射程 最大。,5-2-3 质心运动定理,时，射程最远，,5-2 质点系动量定理,只要 最大。,即图示矢量三角形面积最大。,必有 即,代入上式,得 时，,水平射程最大。,5-2-3 质心运动定理,因 边长一定。,5-2 质点系动量定理,5-
14、3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,第五章 动量定理和动量矩定理,5-3-3 质点系相对运动点的动量矩定理,5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理,目录,2. 对运动点A,1. 对固定点O,(1)对两个固定点A,O 之关系,(2)对固定轴x,(1)绝对动量矩,(数学上完全类似力矩),P 动量,绝对速度,5-3-1 质点系的动量矩,5-3 质点系动量矩定理,(2)相对动量矩(在A点固连平移系),相对速度,(3)两者关系,故,C为质心，,动点为质心C时,对质心的绝对与相对动量矩相等,5-3 质点系动量矩定理,5-3-1 质点系的动量矩,3.刚体的动量矩(对固定点A),(对动点A， 形式同上，但 为一般运动矢),(1)平移,且有,设,(2)定轴转动,对轴上一点O:,5-3 质点系动量矩定理,5-3-1 质点系的动量矩,可见:,其中,称为惯性积；,为对z轴转动惯量。,但刚体对z轴的动量矩 与惯性积无关。,5-3 质点系动量矩定理,5-3-1 质点系的动量矩,常见主轴,质量对称面,对称轴,常见刚体,均质轮 (半径R),均质杆 (长为l),5-3 质点系动量矩定理,5-
