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1、第三讲 线性规划模型,哈尔滨金融学院,数学建模,基础教研部：夏冰,数学规划模型,x决策变量,f(x)目标函数,gi(x)0约束条件,分类：线性规划模型 整数规划与01规划模型 非线性规划模型,重点：模型的建立和结果的分析,哈尔滨金融学院,数学建模,某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安
2、排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？,哈尔滨金融学院,数学建模,例1 最优生产计划问题,表1 产品资源消耗,哈尔滨金融学院,数学建模,哈尔滨金融学院,数学建模,限制条件： 1、设备的加工能力各为200台； 2、可供材料分别为360、300公斤。,问题分析：,目标：总的利润收入最大。 其中每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元。,符号说明：,设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量； Z为总的利润收入。,哈尔滨金融学院,数学建模,建立模型：,1、总的利润收入,2、加工能力限制为200台,3、可供材料分别为360、300公斤,应用Lingo软件求得
3、：X=(50,30,10)时,maxZ=3400,哈尔滨金融学院,数学建模,综上所述，建立线性规划模型：,模型求解：,例2 食用油加工计划,加工一种食用油需要精炼若干种原油并把它们混合起来。原油来源有两类共5种：植物油(VEG1，VEG2)、 非植物油（OIL1，OIL2，OIL3），购买每种原油的价格（镑/吨）见表1：,表1：,最终产品以150镑/吨价格出售。 植物油和非植物油需要在不同的生产线上进行精炼。每月能够精炼的植物油不超过 200吨，非植物油不超过 250 吨；在精炼过程中，重量没有损失，精炼费用可忽略不计。,哈尔滨金融学院,数学建模,最终产品要符合硬度的技术条件。按照硬度计量单位
4、，它必须在 36 之间。假定硬度的混合是线性的，而原油的硬度见表 2：,表 2,问：为使利润最大，应该怎样制定它的月采购和加工计划？,哈尔滨金融学院,数学建模,1确定决策变量 设 x1，x5 分别代表需要采购的 5 种原油的吨数，y 代表需要加工的成品油的吨数。,2确定约束条件 关于植物油：x1 + x2 200 关于非植物油：x3 + x4 + x5 250 硬度上限：8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 6y 硬度下限：8.8x1 + 6.1x2 + 2x3 + 4.2x4 + 5x5 3y 连续性（均衡性）：x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =
5、y 非负性：xi 0（i =1, , 5），y 0,3确定目标函数,目标是使利润最大，即出售产品的收入扣除原油成本之后所得最大：,150y 110x1 120x2 130x3 110x4 115x5 最大。,哈尔滨金融学院,数学建模,建立线性规划模型：,哈尔滨金融学院,数学建模,于是月采购与生产计划为：,某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如下表所示。,问：商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少？,哈尔滨金融学院,数学建模,练习1 雇用营业员,解：设Xj( j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则
6、这个问题的线性规划模型为,哈尔滨金融学院,数学建模,安排生产计划, 满足每周的需求, 使4周总费用最小。,存贮费:每周每千箱饮料 0.2千元。,例3 饮料厂的生产与检修计划,在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?,某种饮料4周的需求量、生产能力和成本,哈尔滨金融学院,数学建模,问题分析,除第4周外每周的生产能力超过每周的需求； 生产成本逐周上升； 前几周应多生产一些。,哈尔滨金融学院,数学建模,饮料厂在第1周开始时没有库存； 从费用最小考虑, 第4周末不能有库存； 周末有库存时需支出一周的存贮费， 存贮费:0.2 (千元/周千箱) ；
7、每周末的库存量等于下周初的库存量。,模型假设,哈尔滨金融学院,数学建模,x1 x4：第14周的生产量,y1 y3：第13周末库存量,符号说明,目标函数,约束条件,产量、库存与需求平衡,能力限制,非负限制,建立模型,哈尔滨金融学院,数学建模,模型求解,4周生产计划的总费用为528 (千元),最优解： x1 x4：15，40，25，20； y1 y3： 0，15，5 .,哈尔滨金融学院,数学建模,思考：在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?,哈尔滨金融学院,数学建模,某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0
8、.7(m)，这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？,哈尔滨金融学院,数学建模,练习2 合理用料问题,解：这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表所示。,哈尔滨金融学院,数学建模,设xj ( j = 1,2,10)为第 j 种下料方案所用圆钢的根数，则用料最少数学模型为:,哈尔滨金融学院,数学建模,如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？,课后练习： 汽车厂生产计划,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。,制订月生产计划，使工厂的利润最大。,哈尔滨金融学院,数学建模,数学是打开科学大门的钥匙，是通向宇宙之美的关键。 开普勒(德国天文学家、光学家),哈尔滨金融学院,数学建模,
