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1、合肥工业大学 博士学位论文 管理信息中的常循环码理论研究 姓名：开晓山 申请学位级别：博士 专业：管理信息学 指导教师：朱士信 2011-05 摘摘 要要 管理信息科学是管理科学与信息技术的融合，以信息理论为基础。信息传输的可靠性 是信息理论的重要方面，它的理论基础是纠错码理论。经过六十年的发展，有限域上经典的 纠错码在理论上日趋完善，在实践中有着广泛的应用。随着纠错码理论研究的深入，有限环 上的纠错码理论价值和实际意义也逐渐被认识。 有限环上常循环码 （包括循环码和负循环码） 以及自对偶码是有限环上纠错码研究的重点。 本文研究了有限链环上常循环码的结构性质， 特别是常循环自对偶码的结构性质。
2、 首先 研究有限链环R上任意长度 s Np n=(n与p互素)的常循环码特别是(1)au+常循环码， 其 中a是R的最大理想的生成元，是R中的单位。确立有限链环上长为 s p的(1)au+常循 环码的结构，Hamming 距离和齐次距离；利用环同构确立任意长度 s Np n=(n与p互素) 的(1)au+常循环码的结构，从而系统给出有限链环上(1)au+常循环码理论。然后将这一 理论应用于两方面：一方面用于分析二元循环自对偶码和 4 Z上负循环自对偶码，确立这两 类自对偶码的距离界；另一方面结合离散的傅里叶变换研究 2a Z上常循环自对偶码和 2r F上 循环自对偶码。确立了 2t Z上- 常
3、循环自对偶码的结构，其中1= 或 1 12t +，由此得 到了 2a Z上一些常循环自对偶码；给出了 2r F上循环自对偶码存在的充分必要条件，证明了 2r F上任意循环自对偶码皆为类型 I 码。 其次研究了在有限链环R的剩余域R % 的特征p与码 长N互素的条件下,R上负循环自对偶码(非平凡)存在的充分必要条件，确定了R上负循环 自对偶码的结构，给出了构造方法。并将这些结果应用于得到(,) t GR p m上长为1 m p +的 负循环 MDR 自对偶码。最后研究了 4 Z和(4,2)GR上长为2e的两类重根常循环码。讨论了 4 Z上长为2e的循环码的 Hamming 距离和 Lee 距离，
4、 给出了这类码的确切的 Hamming 距离 和某些码的 Lee 距离；证明了(4,2)GR上长为2e的负循环码的 Gray 象是 4 F上长为 2 2e+指 数为 2 的线性准循环码。 关键词：关键词：线性码 常循环码 循环码 负循环码 生成多项式 对偶码 自对偶码 Hamming 重量 齐次重量 Hamming 距离 齐次距离 ABSTRACT Management informatics is an integration of management science and information technology, which is based on information the
5、ory. Reliability of Information transformission is an important aspect of information theory, and error- correcting coding theory is its theoretical basis. Through more than sixty years of development, classical error- correcting codes over finite fields have become mature in theory, and attained ex
6、tensive applications in practice. With a more deeply study in error- correcting coding theory, the theoretical value and practical significance of error- correcting codes over finite rings have gradually been realized. Constacyclic codes (including cyclic codes and negacyclic codes) and self- dual c
7、odes over finite rings have become a focus of the study of error- correcting codes over finite rings. This dissertation investigates the structure properties of constacyclic codes over finite chain rings, in particular constacyclic self- dual codes. LetRbe a finite chain ring andR % be the residue f
8、ield ofR. Letabe a fixed generator ofRandpbe the characteristic of R % . Firstly, we introduce (1)au+- constacyclic codes over R, where u is a unit inR. The structure of (1)au+- constacyclic codes overRof length s pis obtained and the Hamming and homogenous distances of these codes are determined. B
9、y using a ring isomorphism, the structure of (1)au+- constacyclic codes over Rof length s Np n=(n prime top) is established. On one hand, this structure is applied to analyze binary cyclic self- dual codes and negacyclic self- dual codes over 4 Z, and bounds for distances of these two classes of cod
10、es are given. On the other hand, by combining this structure with the discrete Fourier transform, constacyclic self- dual codes over 2a Z and cyclic self- dual codes over 2r F are explored. The structure of - constacyclic self- dual codes over 2t Z is determined, where 1= or 1 12t +, and some consta
11、cyclic self- dual codes over 2a Z are found. It is shown that all cyclic self- dual codes over 2r Fare Type I. Secondly, we study negacyclic self- dual codes over R under the condition that the length N is relatively prime to p. Necessary and sufficient conditions for the existence of (nontrivial) n
12、egacyclic self- dual codes over R are given. As an application, negacyclic MDR self- dual codes over ),(mpGR t of length 1+ m p are constructed. Finally, we discuss two classes of repeated- root constacyclic codes of length e 2 over 4 Z and )2 , 4(GR. The Hamming distance of cyclic codes of length 2
13、eover 4 Z is determined, and the exact Lee distance of some cyclic codes of length 2eover 4 Z are also obtained. It is shown that the Gray image of a negacyclic code of length 2eover (4,2)GR is a distance- invariant linear quasicyclic code of index 2 and length 2 2e+ over . Keywords： Linear code； Co
14、nstacyclic code； Cyclic code; Negacyclic code; Generator polynomial; Dual code; Self- dual code; Hamming weight; Homogeneous weight; Hamming distance; Homogeneous distance 独 创 性 声 明 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据 我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果， 也不包含为获得 合肥工业大学 或其他教
15、育机构的学位或证书而使用过的 材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：开晓山 签字日期：2011 年 6月 8日 学位论文版权使用授权书 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 合肥工业大学 有关保留、 使用学位论文的规定， 有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 合肥 工业大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 (保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：开晓山 导师签名：朱士信
16、 签字日期： 2011 年 6 月 8 日 签字日期：2011 年 6 月 8 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 电话： 通讯地址： 邮编： 第一章 绪论 1 第一章第一章 绪绪 论论 1.1 管理信息中的纠错码管理信息中的纠错码 随着计算机的出现和普及， 信息对整个社会的影响逐渐提高到一种非常重要的地位。 信 息量、 信息传输的速度、 信息处理的速度以及应用信息的程度等都以几何级数的方式在增长， 人类进入了信息时代。 在今天， 人们从每个层面上都能感受计算机和信息通信的这种进步所 产生的广泛而深远的影响， 于是信息传输的可靠性和有效性越来越受到人们的重视。 无论是 国家的军事、政治、外交和航天等领域还是人们的平常生活、生产等领域都对信息传输的可 靠性都提出了要求。 信息从一台机器传输到另一台机器，大量的数据在公共信道中流动。数据在公共信道传 输过程中，不可避免地受到随机噪声的干扰，使之出现错误。所以数字通信中
