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1、第五章 量子力学的表象与表示5.1幺正变换和反幺正变换1,幺正算符定义对任意两个波函数、，定义内积 (5.1)物理含义是：当微观粒子处在状态时，找到粒子处在状态的概率幅。依据内积概念，“幺正算符”定义1：“对任意两个波函数、，如果算符恒使下式成立 (5.2)而且有逆算符存在，使得 这里强调既是的右乘逆又是的左乘逆。注意，无限维空间和有限维空间情况不同，任一算符的逆算符有4种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，它俩必相等，唯有此时可简单地写为；4）既无左逆也无右逆。，称这个算符为幺正算符。”算符的厄米算符定义为：在任
2、意、中的矩阵元恒由下式右方决定 (5.3)由此，幺正算符定义2：“算符为幺正算符的充要条件是 (5.4a)或者说。” (5.4b)证明：若成立，则按定义，由于、任意，所以又因为有唯一的逆算符存在，对上式右乘以，即得 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。2,幺正算符的性质幺正算符性质：i,幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 ， 则 所以也是幺正算符。ii,两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设、是两个幺正算符，则所以也是个幺正算符。iii,若一个幺正算符和单位算符相差一无穷小，这个幺正算符被称为无穷小幺正算符。这时可记
3、为 (5.5a)为一个无穷小参数。于是的逆算符(准确到的一阶，以下同)为 (5.5b)利用的幺正性,得到等式 (5.6)说明，如将一个无穷小幺正算符表示为上述形式，则其中为厄米算符。也常称为幺正算符的生成元。于是，按以下方式可以用厄米算符构造出一个幺正算符 (5.7)为任意实数。3,幺正变换幺正算符对量子系统的变换称为幺正变换。具体讲，幺正变换包括对态的和对算符的两方面内容：对波函数：; (5.8a)对力学量算符：. (5.8b)两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变， (5.9)这可以检验：右边。例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数和算符，正是下节常说的由坐标表
4、象向动量表象变换，就是一种幺正变换。这时 (5.10a) (5.10b)此处算符是积分变换。中的为积分变数，为参量。因此当和后面的算符或坐标波函数作乘积时，必须和后面（算符或坐标波函数）的自变量取成相同并对其求积分，作为参量则保持不变（因此，类似于矩阵乘积中的列标与后面取一致并求和，则类似于行标保持固定）；的操作则相反，为积分变数，为参量（此时为行标，为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须相互区别，以免混乱。例如 (5.11a) (5.11b) (5.12)说明，算符将任意动量波函数变为同一个波函数，是个恒等变换。还有， （5.13） (5.14) 由(5.13)和(5.1
5、4)式又可以得到(5.15)（5.15）式也可以换一种算法作直接变换来得到，即 由（5.13）和（5.14）式，在变换下，Hamiltonian 改变成为。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅。比如，容易检验：对易规则在变换下保持不变， (5.16)全部概率幅不变是说应当有 (5.17)这里是粒子处在态时，找到它处于态的概率幅。即上标表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。接着，系统经受幺正变换：，
6、自变数成为。于是变换之后，这个概率幅应当表示为现在来证明(5.17)式：实际上， 这表明任何概率幅的确没变。反过来也可以说，两个量子体系，如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的。这里，“物理上等价”的含义是从实验观测的角度说的。就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。因为从实验观点来看，它们之间已无区别。4,反幺正变换反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。为阐述其内容，我们先定义反线性算符。一个反线性算符满足 (5.18)这里、为任一复常数，、为任意波函数。就是说，如将某一常数抽出算
7、符作用之外，需要对它取复数共轭。这是与线性算符唯一的然而是极本质的差别。定义 反线性算符的厄米共轭算符: (5.19)这里为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有复数共轭。定义 反线性的幺正算符(简称为反幺正算符)为: (5.20)根据这个定义，立即知道，对反幺正算符也有幺正条件 (5.21)这导致。这和幺正算符相同。反线性算符的进一步叙述参见附录一。5.2量子力学的Dirac符号表示1,Dirac符号先从三维空间中对任一矢量的表示方法说起。所有三维矢量线性组合构成三维空间。为了表示这个空间中的任一矢量，事先选定一个坐标系(比如某个笛卡儿坐标)，于是任一矢量在这个坐标系中便由相应的三个数(
8、是与坐标轴单位矢量的标积，也称为这个矢量在这个坐标系中的分量)表示。于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。通常，三维空间任一矢量的表示方法依赖于坐标系（也即基矢）的选取。但也可以不选取任何基矢，而直接将这些矢量写作为、.，并利用标积、矢积等等，形式地表示对它们的代数运算或微积分运算。这种描述不依赖于基矢即笛卡儿坐标的选取，是一种抽象的、普适的表示方法。在量子力学中，按照态叠加原理，一个量子体系所有状态构成一个线性空间，通常称为Hilbert空间。体系的每一个状态对应于体系Hilbert空间中的一个矢量，称为状态矢量，简称态矢。状态Hilbert空间又常称为态矢空间（或
9、态空间）。Hilbert空间的范数便是状态之间的内积 注意，量子力学中的状态空间 Hilbert空间不完全等同于数学中的Hilbert空间。因为前者还包括了归一化到-函数的矢量，而后者无此类矢量。Hilbert空间中所有态矢称为右矢（bra），比如右矢，等等。其中是对此态矢的某种标记，标记的办法以确切、简便为准。比如用系统的好量子数组来标记（例如）；也可以用态矢的波函数(它和态矢的关系下面即将谈及)来标记，例如态矢可记为；如果要强调态矢随时间的变化，也可以记为；另外还有，等等。这里，（）是坐标（动量）算符的对应于本征值为（）的本征态，即有（）。对于每一个右矢，对应地还有一个左矢（ket） 左矢
10、常称为bra，右矢常称为ket，这是bracket一字的左三个字母和右三个字母。，它与该右矢互为厄米共轭，即 和 (5.22)于是，用于展开态矢的基矢也就有左基矢和右基矢之分了。 有了左矢和右矢的概念，便可以引入内积投影的定义。右矢向右矢的投影是右矢与对应左矢的内积，即 在态矢中发现态矢的概率幅 （5.23a）按量子力学基本假设，此式含意若用波函数表示便应当是 (5.23b)这个内积关于是线性的，关于则是反线性的。这可以设想从它们中各自抽出一个复数常系数，看是否经受复数共轭操作，便可以知道。由内积定义可知 (5.23c)显然（或）和自己的内积是个正数。对于标记(编号)为分立的一组左（右）态矢，
11、如果彼此内积为零，各自内积为1，就称它们为正交归一的；对于标记(编号)为连续的一组左（右）态矢，比如坐标本征态和动量本征态，若它们内积是函数，也称为正交归一的 后两者为连续表象。在这类表象中正交归一化为-函数。这使量子力学的Hilbert空间大于数学中由平方可积函数组成的传统的Hilbert空间。详细还可参见下面叙述。 (5.24)和三维空间矢量解析的情况相似。在量子体系的态矢空间中，对态矢的描述可以不必事先选取基矢，而是采用抽象的态矢符号，以普适的方式表示它们在状态空间中的变化。最后指出，用左右矢并矢乘积而得的算符，是向态矢的投影算符。由于，于是有两个本征值。（实际上，这种本征值集合是所有投
12、影算符的共同特征。）作用是：将后面的态矢向态矢投影，给出在中含有的概率幅。即而的平均值则是在态中找到态的概率（反过来理解亦可）。为了在态矢空间中进行详细具体的计算，需要选定一组特定的态矢作为基矢，用它们去展开任意态矢。基矢选取要满足：第一，为了运算方便，所选的基矢是正交、归一的。就是说，规定基矢组和有如下正交归一的性质对分立编号：正交归一条件为 (5.25a) 对连续编号： 正交归一条件为 (5.25b)第二，若要能够展开任意的态矢，选做基矢的一组态矢必须是完备的。可以证明，这要求基矢组必须满足以下条件对只有分立编号： 完备条件为 (5.26a)对只有连续编号： 完备条件为 (5.26b)例如
13、，当坐标算符本征值连续变化取遍全空间时，坐标空间的本征矢是完备的，因为用它们足以展开任何态矢。这组基矢的编号是连续的。对动量算符本征矢情况类似。于是，对于坐标本征基矢和动量本征基矢，完备性条件分别为 和 (5.26c)物理意义：前者表示在空间任一点总可以找到粒子；后者表示不论粒子处在何种状态，总可以对它作动量成份的分解。从投影算符的角度，不难理解上面各类基矢的完备性条件：如果基矢是完备的，则向所有基矢投影的投影算符总和是个单位算符。因为，这只不过是重申任一归一化态矢的归一化条件而已，一般情况下，一个完备的基矢组常常既包含分立的基矢集合，又包含着参数连续变化的基矢集合（两集合之间也正交）。如同系统，能谱和状态空间既有负能区分立的束缚态部分，也有正能区连续的散射态部分。因此，完备性条件的普遍形式应当为 (5.27a) (5.27b)如果所选基矢是完备的，它应当能够展开任一态矢，反之亦然。即可以证明，完备性条件(5.27a)式与可以对任意态展开的(5.27b)式相互等价。证明：由(5.27b)式可得（5.27a）式。用分立编号的左基矢乘(5.27b)式，注
