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1、第七章 控制 Chapter Control 7.1 引言 7.2 单连杆机械手的控制 7.3 稳态伺服误差 7.4 稳态速度误差 7.5 加速度误差 7.6 多连杆机械手的控制 7.7 伺服参数的计算 7.8 采样数据的伺服速度 7.9 力矩伺服 7.10 本章小结,前几章，我们借助齐次变换阐述了对于包括机械手在内的任何物体的位置和姿态的描述方法。研究了机械手的运动学，建立了机械手关节坐标和与直角坐标的位置和速度之间的关系，推导了机械手的动力学方程。 本章，我们要根据动力学方程来考虑机械手的控制问题，由于任何机械手的实际控制都是通过对各个关节的协调控制来实现的。因此，必须对每一个关节进行有效
2、的控制，控制方法具有一般性。本章旨在明确控制中的主要问题，并概要介绍可能的解决方法。,7.1 引言(Introduction),（7.1）,如果负载加到连杆的末端，就要增加一个等效连杆质量以及等效转动惯量。表7.1是斯坦福机械手的传动机构与等效连杆惯量。,首先，我们考虑一个非常简单的单连杆机械手，这个连杆具有质量及围绕关节轴的转动惯量，而且，由于它的刚性结构，存在着结构谐振频率structural。 对于一个设计得很好的机械手，可以做到从空载到满载使惯量的变化为1 ：10。因此，如果固有结构谐振频率0，是按惯量为J0的情况测定的。那么当惯量为另一个值J时，结构频率就由下式确定,7.2 单连杆机
3、械手的控制 (Control of a Single Link Manipulator),机械手各关节由传动机构按齿轮减速比a来驱动。在直接驱动的情况下，a = 1，在间接驱动的情况下，关节速度是传动机构速度的 1/a ,通过减速齿轮折合过来的传动机构惯量增加到原来的 a2 的倍。,沿用上一章中的记号，可以把等效关节惯量Jii 写为 Jii = Dii + Iai (7.2) 其中 Dii 是不计传动机构惯量的关节等效惯量，Iai 是增加 a2 倍以后的传动机构惯量。 一般地，传动机构或者是液压装置，或者是电动装置。两类传动机构都可以用一个传动增益 km 和一个粘性阻尼系数 F 来描述。不考虑
4、库仑摩擦，传动机构的模型为,这个方块图化为标准形式为,H(s),再化简为,因而，传动机构与关节的传递函数就成为,（7.3）,图中 G（s）= km / SJ H（s）= F / km,从测速发电机或通过其他方式引来速度反馈，我们就可增加传动机构的固有阻尼，方块图于是变为,关节与传动机构的传递函数，在考虑速度反馈后就为,如果我们现在设置位置反馈使系统闭环，就有,（7.4）,这是一个二阶系统，标准形式为,从而传递函数变为,上式中n 是系统的特征频率（无阻尼自然振荡频率）， 是阻尼比，当 1。当 = 1 时, 系统处于临界阻尼状态，这时能得到最快的无振荡响应，于是由式（7.4）有,（7.5）,对于临
5、界阻尼 = 1 ，有,(7.6),为了防止激起结构振荡，保证包括连杆在内的系统稳定，必须把 限制为0.5 。根据（7.1）和（7.5） ，用具体的值表示这一限制关系，就得到,(7.7),我们把系统增益 的最大值记为,(7.8),例如，对于斯坦福机械手，如果我们对连杆的结构频率作一定性估计，再利用表7.1取J的中间值。就可以算出系统增益 的实际最大值（见表7.2）。,表7.2 斯坦福机械手结构频率对位置增益的限制,关节,4 5 790 6 7 1780 20 7 27600 4 15 0. 1 220 15 0. 1 220 6 20 0. 04 1580,问题：为什么有这些限制？,位置伺服增益
6、 为式(7.8)所限，可确定为,速度反馈增益的选择要使系统具有临界阻尼，可由式(7.6)确定，它随惯量的平方根变化,如果选择 ，使得在惯量为J0的情况下，系统具有临界阻尼,那么，由式(7.10)和式(7.11)我们就能对于惯量为任意值的情况求出正确的速度反馈增益值 。,（7.9）,（7.11）,（7.10）,其中,（7.12）,（7.13）,如果我们不知道等效惯量J，那么 就必须根据惯量的最大可能值来确定。在惯量小于最大值的情况，系统处于过阻尼状态(见式（7.5），这时系统的响应时间相应增加。当负载量达到最大值时，系统由过阻尼变为临界阻尼，在无超调情况下响应时间最小。如果等效惯量是已知的，那么
7、对于惯量的任何值，通过计算合适的系统增益，都可以保持系统处于临界阻尼状态，从而使系统在惯量小于最大值时，得到较快的时间响应。,式(7.9)确定了位置伺服增益 的上界。为了定出它的下界，我们必须求取系统的稳态误差。这些误差对应于扰动力矩T，在传动机构以及减速齿轮之后，把它们加入系统。一个扰动力矩T相当于下列力矩的组合：负载力矩、外力矩、库仑摩擦力矩以及重力负载力矩。 加入扰动力矩T后的系统方块图如图7.1所示。,7.3 稳态伺服误差(Steady State Servo Errors),图中系统的误差定义为 ，可由下式确定,采用终值定理，系统的稳态误差 由下式确定,由式（7.14）就得到对应于阶
8、跃输入力矩 T / s 的误差,从上式解出kekm，表示为伺服刚度 T /e,（7.14）,（7.15）,（7.16）,（7.17）,表7.3 斯坦福手对于1牛顿力的位置偏差,关节,0. 54 790 0. 37 0. 50 1780 0. 14 3 27600 0. 04 0. 25 220 0. 28 0. 25 220 0. 28 6 0. 25 1580 0. 04,r（m）,dx（mm）,表7.3的第三列指出了斯坦福手每一个关节的最大伺服刚度。对于旋转关节，刚度单位为牛顿米/弧度；对于滑动关节，刚度单位为牛顿/米。为了计算机械手的刚度，我们假定1牛顿的负载力加在它的末端机构上，它的每
9、一个关节的有效操纵臂长r列于表7.3。表中最右一列是位置偏差dx ,单位为毫米。,现在考虑库仑摩擦造成的误差力矩，摩擦效应必须在关节开始动作之前就要予以克服。我们不太严格地把它表示为一个关节力矩Tstatic。一旦关节运动起来，这个力矩的值就降低为Tdynamic，它阻止关节的运动。 表7.4给出了斯坦福手的库仑摩擦力矩的测量值Tdynamic。可以利用库仑摩擦把伺服过程的重复精度定义为位置误差dx，它造成值为Tdynamic的伺服力矩响应。假定机械手的操纵臂长r与计算负载力矩偏差时一样，斯坦福手的重复精度计算结果有如表7.4所示。,0. 54 790 1. 91 1. 31 0. 50 17
10、80 3. 18 0. 89 27600 12. 0 0. 43 0. 25 220 0. 565 0. 64 0. 25 220 0. 635 0. 72 6 0. 25 1580 0. 424 0. 07,表7.4列出的重复精度的相当高。在关节处于运动状态时，为了克服动摩擦，我们可以给关节施加一个前馈力矩Tff，使得重复精度的值再减小一些。前馈力矩:,(7.18),在关节处于静止状态时，我们则可以施加一个脉冲力矩（克服静摩擦）来提高重复精度值。,(7.19),下面考虑最后一种稳态误差，即由重力造成的误差。根据在最大负载情况下的重力负载Tg。按照设定的系统增益 以及操纵臂长r，可算出机械手末
11、端机构的位置偏差。表7.5以斯坦福手为例，列出了这些位置偏差值。,重力负载造成的偏差非常大，但是不会带来任何问题，因为我们已经计算过重力矩Di。对于任何一个关节，如果它的重力负载偏差必须予以考虑，那我们可以给这个关节的附加一个前馈力矩，其大小与计算的重力负载力矩相等。修改了的伺服系统方块图如7.2所示。,如果各个关节都带有库仑摩擦补偿和重力负载补偿，那么系统的所有稳态误差就转化为由未知负载或未知外力引起的等价的稳态误差力矩。,(7.20),在运动坐标系的情况下，当要求机械手以一个恒定的速度到达工位点时，伺服系统会产生稳态速度误差（注意：所谓稳态速度误差是指由关节速度引起的位置误差）。例如与传送
12、带配合工作时，这类误差就比较重要。把恒定速度VC的拉普拉斯变换VC/s2 代入式(7.14) ，取极限（见式（7.15），可求得稳态误差为,(7.21),假定系统为临界阻尼，将有(7.6)代入上式，再利用式(7.10)和(7.1)简化得到,(7.22),7.4 稳态速度误差(Steady State Velocity Errors),设传送带的速度为10厘米/秒，斯坦福机械手位于距传送带0.5米处，相应的速度为VC =0.2 厘米/秒。跟踪误差如表7.6所示。,表7. 6 斯坦福机械手的跟踪误差,关节,4 0. 54 17. 19 6 0. 50 10. 61 20 3. 18 15 0. 2
13、5 2. 12 15 0. 25 2. 12 6 20,r(m),dx(mm),从表7.6可看出，这些跟踪误差都很大，但是如果根据期望速度提供前馈，这些误差可以减小为零。原来的伺服方块图中要加上两项；一项克服阻尼系数F的影响，一项克服速度反馈系数Kv的影响。修改结果如图7.3所示。,下面考虑由关节加速度造成的位置误差。我们先来研究一个非常简单的模型：在前一半运动时间里由正的加速度a起作用，而在后一半运动时间里，负加速度-a起作用。总的最大速度v为at/2，总的运动时间为T。t时刻的位置变化 为at2/4 ，运动轨迹形如图7.4所示。用t和表示v和a的求解结果，得到 v = 2/ t a = 4
14、/ t2,7.5 加速度误差(Acceleration Errors),（7.23）,(7.24),我们再考虑一个速度相当高的运动。例如在1秒时间里=2 弧度/秒 ，这就相当于 v = 4，而 a = 8 ，假定使用速度前馈来消除与速度有关的误差。由恒定加速度 a 所引起的稳态误差就相当于d(s) a/s3 的输入。利用这一输入，通过求取极限（见式（7.15）。我们得到,如果加速度为8，e 的值如表7.7所示。,尽管机械手以高速（此处为2米/秒）运动时这些误差并不重要，但是在运动的开始与终了时，它们还是值得重视的。如图7.5所示，附加另一个前馈项Js2，就有可能补偿这些误差。如果等效关节惯量未知，那么可以取J的最小值构成某个补偿，要是使用J的最大值构成补偿而实际关节惯量却小于最大值，那就会引起超调。,表7. 7 斯坦福机械手的加速误差,关节,4 0. 54
