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1、1,第二章 静电场,本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。,本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。,2,静电场标势微分方程唯一性定理分离变量法镜像法格林函数法电多级矩,本章具体内容：,3,第一节 静电场的标势及其微分方程,4,在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为,这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。,静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。,一、静电场的标势,5,把单位正电荷由P1点移
2、至P2点，电场E对它所作的功为,这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势下降。由此,6,由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令()=0有,7,无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即,设C1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此,电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。,8,相距为dl的两点的电势差,由于,因此，电场强度E等于电势的负梯度,当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势
3、时，通过求梯度就可以求得电场强度。,9,10,点电荷Q激发的电场强度,其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为,11,一组点电荷Qi激发的电势,若电荷连续分布，电荷密度为，设r为源点x到场点x的距离，则场点x处的电势为,12,二、静电势的微分方程和边值关系,均匀各向同性线性介质,代入,其中为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势的解。,得泊松方程,13,通过转换获得两介质界面上电势必须满足边值关系,14,法向电场不连续,电荷沿法线方向移动, 切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）,15,导体的特殊性,1、导体
4、内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；,2、导体内部电场为零；,3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。,设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容率为，导体表面的边界条件为,16,三、静电场能量,由E=-和D=得,因此,17,式中右边第二项散度体积分化为面积分,所以,18,例1 求均匀电场E0的电势。,均匀电场每一点强度E0相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为0，那么任一点P处的电势为,解,19,若选0=0，则有,其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选()=0.,20,例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势。,如图，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元dz, 到P点的距离为,解,21,积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷和电荷不是有限区域内的分布有关。,则,22,计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则P点和P0点的电势差为,23,若选P0点为参考点，规定，,取的梯度得,则,24,例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。,整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上,因此静电场总能量为,解,方法之一: 按电荷分布,25,方法之二: 按电场分布,因为球内电场为零，故只须对球外积分,
