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1、概率论与数 理 统 计 主讲:赵敏,1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式,一、条件概率的概念,1直观背景,例1 已知一批产品有100个，其中15个为一等品，在这批产品中一车间生产的有75个，而在第一车间生产的产品中有10个为一等品，今任取一个产品，问它是一等品（事件A）的概率是多少？又若已知抽取的产品是第一车间生产的（事件B），问它是一等品的概率是多少？,为了区别这两种概率，我们分别记,例2 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只 木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料 球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少
2、？,设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.,所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件,B 发生的条件概率。记为,解 列表,从而有,2条件概率的定义和性质,定义：,若（ ，F，P ）是一个概率空间，B F，且 P（B）0，则对任意的 A F，称 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概率。,（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法,（2） 其 他 概 型 用定义与有关公式,不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质：,（1）非负性：,（2）规范性：,类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质,（4）,一般地：,解 设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到1000
3、0小时”,我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即,所以AB=A，,这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。,于是，,例4 某种灯泡使用5000小时未坏的概率为 ，使用10000小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已经使用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？,二、乘法公式,（ ）.,上式称为随机事件概率的乘法公式.,定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积 。 即：,下
4、面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。,证明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B 发生了k次，事件AB发生了r次，则 事件A发生的频率为：m/n 事件B发生的频率为：k/n 事件AB发生的频率为：r/n 在事件A发生的条件下事件B发生 的频率为：r/m 由于,由概率的统计定义,概率是频率的稳定性数值,故,乘法公式它可推广到任意有限个事件.,设 为任意n个事件，满足,儒林外史中有一章讲的是范进中举的故事，这其实 也是一个概率问题。现在我们来算一下，范进晚年中举 的概率究竟有多大？,通过计算我们发现，范进晚年中举的概率竟高达 97.18%，这也从另一个方面启示我们，学习重要的 是持之
5、以恒。,例5 设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？,解法一：,用古典概型来做,设A=“两次都拿到白球”，,解法二：,用乘法公式来做,设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”，,AB=“两次都拿到白球”，,例6 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”
6、的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个 一个按次序来，谁抽到入场券 的机会都一样大.”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,继续做下去就会发现, 每个人抽到
7、“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后,也就是说，,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,三、全概率公式,例7从5个乒乓球（3个新的，2个旧的）中每次取一个，无放回地取两次，试求第二次取到新球的概率。,解：,设B=“第一次取到新球”，A=“第二次取到新球”,注意，这不是求条件概率,全概率公式,例8在A、B、C三个盒子中共装有10个外形不可分辨的球，在A盒中有两个新球，一个旧球；在B盒中有两个新球，两个旧球；在C盒中有一个新球，两个旧球。设取到每一个盒子的机会是均等的，现从三个盒子中任取一个球，问取到新球的概率是多少？,解：,设A=“取到新球”,=“取到A盒”， =“取到B盒”， =
8、“取到C盒”。,图示,由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。把这个方法一般化，便得到下面的定理。,这个公式通常称为全概率公式，它是概率论中最基本的公式之一。,图示,证明,化整为零 各个击破,由此有,说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.而这需要对样本空间进行划分.,例9 某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个，其中第一个盒子中7个球标有字母A,三个标有字母B;第二个盒子有红球和白球各5个
9、，第三个盒子中8个红球， 2个白球。试验按如下规则进行，先在第一盒子任取一球，若取得球标有字母A，则在第二盒子任取一球；若取得球标有字母B，则在第三个盒子任取一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。,解,A=从第一个盒子中取得标有字母 A的球,B=从第一个盒子中取得标有字母B的球,R=第二次取出的球是红球,W=第二次取出的球是白球,解 令,解,令A=任取一件，恰好抽到不合格品, Bi=任取一件,恰好抽到第i条流水线的产品,i=1,2,3,4,例11(续例10)在上例中,若该厂规定,出了不合格品要追 究有关流水线的经济责任，现在在出厂产品中任取一件, 结果为不合格品,
10、但该产品是哪一条流水线生产的标志已 经脱落,问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说， 第4条(或第1、2、3条)流水线应承担多大的责任？,解,从概率论的角度考虑可以按P(Bi|A)的大小来追究第i条(i=1,2,3,4)流水线的经济责任.由上例知P(A)=0.0315, 应用条件概率的定义，得,四、 贝叶斯公式,定理 设 为一列互不相容的事件，且有,这个公式称为贝叶斯公式（逆概公式）.,则对任意的事件A，有,例12 盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。,（1）求第二次取出的全是新球的概率,（2）若已知第二次取出的都是新球
11、，求第一次取出的都是新球的概率。,解,设 =“第一次取出的3只球都是旧球”，,=“第一次取出的3只球中有2只新球”，,=“第一次取出的3只球中有2只新球”，,=“第一次取出的3只球都是新球”，,B=“第二次取出的都是新球”。,贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例13某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)
12、=0.95, P(A| )=0.04,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，,求 P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得 P(CA)= 0.1066,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,P(CA)= 0.1066,P(C)=0.005,试验结果为阳性 ,
13、 此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,在贝叶斯公式中， 和 分别称为原因的验前概率和验后概率.,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法定理(乘法公式）,贝叶斯(1702-1763) Thomas Bayes，英国数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作机会的学说概论发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。,
