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1、福师实变函数在线作业一-0001试卷总分:100 得分:100一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)1.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。答案:正确2.f为a,b上减函数，则f(x)在a,b可积且其积分值fdxf(b)-f(a) .答案:错误3.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.答案:正确4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f0)有sigma-有限测度。答案:正确5.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.答案:正确6.f可
2、积的充要条件:|f|可积。答案:正确7.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。答案:正确8.增函数f在a,b上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.答案:正确9.设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax答案:正确10.f可积的充要条件是f+和f-都可积.答案:正确11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.答案:错误12.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。答案:正确13.可积的充分条件:若存在gL1,使得|f|=n)之和收敛.答案:错误22.若f,gAC，则|f|,f+
3、,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),fg,fg均属于AC。答案:正确23.若f可测，则|f|可测，反之也成立.答案:错误24.可数集的测度必为零，反之也成立.答案:错误25.对Rn中任意点集E，EE必为可测集.答案:正确26.有界可测函数f在区间a,b上L可积的充要条件是f在a,b上几乎处处连续.答案:错误27.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.答案:错误28.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。答案:错误29.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.答案:正确30.L积分下N
4、ewton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。答案:正确31.若fL1a,b,则几乎所有的x属于a,b均是g的L点.答案:正确32.若fC1a,b（连续可微）,则fLipa,b，fACa,b.答案:正确33.闭集套定理的内容是：F_k是Rn中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.答案:正确34.函数f在区间a,b上可积的充要条件是f在区间a,b上的不连续点集为零测度集.答案:错误35.当f在(0,+)上一致连续且L可积时，则lim_x-+f(x)=0.答案:正确36.fBV，则f几乎处处可微，且fL1a,b.答案:正确37.若fBV,则f有界。答案:正确二、单
5、选题 (共 5 道试题,共 10 分)38.若|A|=|B|,|C|=|D|,则A.|AC|=|BD|B.|AC|=|BD|C.|AC|=|BD|D.当A或C为无限集时，|AC|=|BD|答案:D39.fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件答案:D40.设g(x)是0,1上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是0,1上的A.连续函数B.单调函数C.有界变差函数D.绝对连续函数答案:C41.开集减去闭集其差集是（ ）A.闭集B.开集C.非开非闭集D.既开既闭集答案:B42.若A为Rn中一
6、疏集，则（ ）A.Ac为稠集B.A为开集C.A为孤立点集D.A不完备答案:A三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)43.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）A.m(A)m(B)B.m(A)=m(B)C.m(BA)=m(A)D.m(B)=m(A)+m(BA)答案:BD44.设f为a,b上增函数，则f为（ ）A.几乎处处可微B.L可积C.f可积D.区间a,b上积分值f(x)dx=f(b)-f(a)答案:ABC45.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）A.fn测度收敛于|f|B.afn+bgn测度收敛于af+bgC.(fn)2测度收敛于f2D.fngn测度收敛于fg答
7、案:AB46.若0=g=f且f可积，则（ ）A.g可积B.g可测C.g，a.e.D.当g可测时g必可积答案:CD47.f(x)=1,x(-，+),则f(x)在(-，+)上A.有L积分值B.广义R可积C.L可积D.积分具有绝对连续性答案:AD48.设E为Rn中的一个不可测集，则其特征函数是A.是L可测函数B.不是L可测函数C.有界函数D.连续函数答案:BC49.若f∈ACa,b，则（ ）A.f∈Ca,bB.f∈BVa,bC.f(x)=f(a)+∫ax f (t)dtD.f∈Lipa,b答案:ABC50.设f为a,b上减函数，则f为（ ）A.绝对连续函数B.有界变差函数C.有界函数D.可测函数答案:BCD
