最小二乘法和直线拟合

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1、实验数据的处理方法,实验必然要采集大量数据，实验人员需要对实验数据进行记录、整理、计算与分析，从而寻找出测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。所以说，实验数据处理是实验工作不可缺少的一部分。下面介绍实验数据处理常用的四种方法。,1、列表法 列表法没有统一的格式，但在设计表格时要求能充分反映输入输出关系，要注意以下各点： (1)各栏目都要注明名称和单位。 (2)栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。 (3)反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。,2、图解法 （1）作图必须用坐标纸： 当决定了作图的参量以后，根据情况选择用直角坐标纸(

2、即毫米方格纸)，对数坐标纸，半对数坐标纸或其它坐标纸。,1. 标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,4.标出图线特征： 在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R 值。,电阻伏安特性曲线,5.标出图名： 在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,由图上A、B两点可得被测电阻R为：,至此一张图才算完成,不当图例展示：,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,改正为：,横轴坐标分

3、度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,改正为：,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,改正为：,3、最小二乘法（线性回归） 作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往带有较大的任意性，所得的结果也常常因人而异，而且很难对它作进一步的误差分析，为了克服这些缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题，常用以“最小二乘法”为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线型的函数可以通过适当的数学变换而改写成直线方程。,在很多物理

4、实验中，x和y这两个物理量中总有一个物理量的测量精度要比另一个高很多，其测量误差可以忽略。通常把它作为自变量x，其测量值xi可以看作是准确值。对应于某个xi值，另一个y的测量值yi是随机变量。设x和y的函数关系由理论公式 y=(x;c1,c2,cm) 给出，其中c1,c2,cm是需要通过拟合确定的参数。,数据的直线拟合(最小二乘法),数据的直线拟合(最小二乘法),通过实验，等精度地测得一组实验数据（xi，yi，i =1，2n）， 设此两物理量 x、y 满足线性关系，且假定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线公式为 y =f(x)=a+bx，当所测各yi值与拟合直线上各估计值 f (xi)= a+bxi 之间偏差的平方和最小，即 时，所得拟合公式即为最佳经验公式。 据此有 解得,作业,测量某传感器输入x和输出y的关系，得到一组数据如下，试用最小二乘法，求出直线方程，用绘图纸画出实验数据的最佳直线。,