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1、曲阜师范大学 硕士学位论文 离散风险模型的破产概率 姓名：王常凯 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：吕玉华 20080401 曲阜师范大学硕士学位论文 离散风险模型的破产问题 摘要 本文考虑了几种离散的风险模型以前有关离散风险模型中的保费收入 是随机的，但是在现实生活中，保险公司收取保费一般都是定期收取( 比如 说按月或年收取) ，本文讨论了保险公司按照单位时间随机收取保费的二项风 险模型和负二项风险模型，得到了它们的破产概率及其上界，破产前瞬间盈 余的分布，破产持续时间的分布和破产概率满足的积分方程 根据内容本文共分为以下四章； 。 第一章主要介绍了风险理论研究的历史及其
2、发展过程、本文研究的对象 和得到的主要结果 第二章主要介绍了二项风险模型的性质，模型的破产概率及其证明对 于模型 n( n ) u ( n ) = u + 置一K ， i = Ii = I 在具有独立性的假设条件下，它具有平稳独立增量性， E 【u ( n ) 】= t 工+ n l 卫x n p t y ，桌恐u ( 仃) = + ， E 【e 一u ( n ) 1 = e - r U ( A 奴( 一r ) ) n ( p M v ( r ) + q ) n ， 且方程N I x ( 一r ) ( p M v ( r ) + g ) = 1 存在正解r = R ，并称此正解R 为调节系数
3、在这些性质下，我们得到了模型的破产概率 4 一R u 皿( t | ) = E e x p ( - R 二U ( T ) ) T P # Y 性质3 l i m n 一。v ( n ) = + o 。 5 ( 2 3 2 ) 口 4 m V m n S一 + m nc ，)X 一 第二章二项风险模型的破产概率 其中 l i r a n - - 4 o o 所以 即 证明由大数定律可得 = l i m n + = l i m n “ - ) 0 0 = l i m n - - 4 0 0 = l i m n - + 0 0 = l i m n - - 4 “ 0 0 让+ 坠l 五一磐M 竺。五
4、 n ：，五 亿 ：。X l i m 行- - ) 一l i m n - - + 1 i m n 一l i m ，l F ny 厶i = 1 。o l ：1N ( i ) 一N ( i 一1 ) 磐K E 【x l 】= p x ， 2 肛y ， = E N ( i ) - N ( i 一1 ) 】= E N ( 1 ) - N ( O ) 】- P 1 i m 掣：纵一脚 o ， n - - O O n l i mu ( n ) = + o o n o o ( 2 3 3 ) 口 不过，这并不排除在某一时间或一段时间，盈余过程可能为负值，这时 称保险公司破产以下恒记T 为保险公司首次破产的时
5、刻，简称为破产时， 即令 + T = i n f n ：u ( n ) 0 ，有 E 【e r u ( n 】= E 【e 印( 一7 U ( n ) ) l 丁 0 ，考察人= 珏+ n o t 一肋若n 充分大，则A 是正的，且有仃- o 。 时A - - + o o 又有 E 【e z p ( 一冗u ( n ) ) I T a l P 钍( T n ) = E 【e z p ( 一兄u ( n ) ) l 丁n ，0 v ( n ) A I R 让( 丁n ，0 u ( n ) 人) + E e x p ( - R U ( n ) ) T r t ，U ( 佗) A I R u ( 丁
6、n ，u ( n ) A ) P 仙( 0 u ( n ) A ) + e - R A ， 由车贝晓夫不等式得 P ( o v ( n ) A ) = P u ( o v ( n ) SE 【U ( n ) 】一n 声) P ( I U ( n ) 一E ( 佗) 】I 扎声) V a r U ( n ) 1 9 2 n 一；= “ O f f ； 于是当扎_ 时上式趋于零，因此又有 E ( e z p ( 一R U ( n ) ) l 丁礼】P 让( T 扎) 0 ，( f l , 。) 所以有 皿( 乱) 2 环顽乏硫丽 推论 皿( 珏) n ) = 【x ( T ) l TSn i P
7、u ( T n ) + E X ( n ) I T n i p u ( T n ) ( 2 5 5 ) 注意到当仃 让) 定义 F ( u ，X ) = P ( U ( T 一1 ) X ，T ( u ) 0( 3 1 2 ) 为破产前盈余分布函数 定理2对任意 0 ，破产前盈余分布函数F ( u ，X ) 满足 F ( u ，z ) = 危l ( 钍，z ) + F ( u 一石，z ) d F ( z ) - ，一 其中 h i ( u ，X ) = r - f z ( 巩 h 1 3 z 冬让； Z U 第三章二项风险模型的进一步研究 其中F z ( z ) = 1 一兄( z ) 证明
8、F ( u ，X ) 描述了初始资本为U 时破产前瞬时盈余大于x 的概 率，由式( 3 1 2 ) 可得： F ( u ，z ) = n = 1 P ( U ( T 一1 ) z ，T ( 乱) = n ) P ( J s ( n ) 乱，s ( 凡一1 ) 缸，s ( o ) u ，s ( o ) U h 2 ( u ，z ) = 尸( S ( 2 ) 饥，s ( 1 ) u ，Z l u ，s ( 2 ) u ，Z I + 易 “一名，s ( 1 ) t 王，S ( 竹一1 ) 丁( 乱) ，u ( n ) o ) ( 3 2 1 ) 因此破产持续时间可以定义为 亍c 让，= ：! 牡)
9、一T ( u ) 丁。珏，! ：_ 。 定理3 对任意让 0 ，破产持续扎期的概率为 n 西札( u ) = 尸( 于( u ) = n ) = 磁n ( 缸) 仇( 让) ， 七= 1 其中Q 七( 钍) 由式( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 给出，M l 几( u ) 由式( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ，( 3 2 8 ) 给 出 证明 破产持续一期即f ( u ) = 1 时的概率为， 圣l ( 让) = P ( 于( 牡) = 1 ) = P ( r ( u ) = T ( u ) + 1 ) = P ( 丁( 锃) = k + 1 l T ( 让) = 七) P
10、( 丁( 让) = 七 七= 1 = P ( u ( 1 ) o ，u ( 2 ) 0 ，U ( K 一1 ) 0 ， ( 3 2 2 ) 七= l U ( K ) u Z ，z 2 + 磊乱一z ) d F z ( z ) 耐1 ( 钍一z ) d F z ( z ) 由归纳得到，对于k 2 有， 磁u ( 让)= r 磁弥飓 这是k 时刻破产且持续一期的概率所以破产且持续一期的概率为， 西，( n ) = P ( f = 1 ) = 磁1 ( 孔) Q 七( t I ) 免= l 1 7 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) Z Z = l l 第三章二项风险模型的进
11、一步研究 同理破产且持续二期的概率为， 圣2 ( 缸) = P ( 亍( 钍) = 2 ) = P ( 7 - ( 珏) = T ( u ) + 2 ) = P ( r ( u ) = k + 2 I T ( u ) = 克) P ( T ( 札) = 七) 七= 1 = P ( u ( j ) o ，u ( 2 ) 0 ，U ( K 一1 ) 0 ，( 3 2 7 ) k = 1 在上式中， U ( K ) “ t l ，z l + z 2 + 磊u ) ：厂P ( Z 2 珏_ Z 2 + z 3 t l 一2 ) d F z ( z ) d u 叫2 ( 缸) = 尸( u ( 1 )
12、0 ，u ( 2 ) 仳，Z 1 + 易+ 历+ 五让) P ( z 2 让一z ，汤+ z 3 u 。一z ，Z 2 + 磊+ 五钍一z ) d F z ( z ) M f 2 ) ( 让一z ) d F z ( z ) 由归纳得到，对于k 2 有， ，牡 磁2 ( u ) = 趔型。( 让一z ) d F z ( z ) ，一 这是k 时刻破产且持续二期的概率所以 1 8 一：V0Q，：、 偿 M 心 垒一 珏 七Q ，= ：、0 动 磁 脯 = 动 = 一rP I I 珏圣 曲阜师范大学硕士学位论文 与前类似有 碰哪( u ) = 磁竺( u z ) d F z ( z ) ( 3 2
13、8 ) ，一 所以破产且持续n 期的概率为， o o 圣n ( u ) = P ( 亍= 礼) = M n ( 乱) Q 七( 钍) ( 3 2 9 ) k = l 综上所述，定理得证 口 3 3 破产概率的积分方程 在这一节我们利用更新迭代技巧得到有限时间内破产概率的递推公式和 终极破产概率满足的积分方程 定义终极破产概率为 ， 皿( 让) = P ( Uu ( 七) ， P 即 p x 里p y ( 4 3 3 ) 性质3 l i m n 。o 。u ( n ) = + 证明由大数定律可得 其中 = l i m n = l i m n 0 0 = l i m 1 1 J ( 3 0 = l
14、 i r a n o o u + E ：1咒一磐M ：。五 n r ny Z i - - - - 1 。t 礼 墨。咒 l i m n o o l i m n - - - 4 一l i m n l i m n o o ! 。五 n 2 4 F | I v ( n ) V Z i = 1 。l n r ( n ) V 厶i = 1 1t N ( n ) r ( f 1 ) V 么J i = 1 1l N ( n ) l i m 型 t l _ + o on E X I 】= p x ， ，( 4 3 4 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 所以 即 ，注N ( 1 n M 恕锈铲2 M l i m 盟
15、盟：l i m 圣! 壁垒2 二型( ! 二1 2 n - + 0 0礼7 1 “ - - ) 0 0n = E 【( i ) 一( t 一1 ) 】 = E ( 1 ) 一( o ) 】= 三 1 i m 型：k 一望肛y o ， l r l - - I O O n 。P l i mv ( n ) = + o 。 n - - + o o ( 4 3 5 ) 口 不过，这并不排除在某一时间或一段时间，盈余过程可能为负值，这时 称保险公司破产以下恒记T 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时， 即令 T = i n f n ：U ( 珏) ，( 4 3 8 ) 所以R 是方程9 ( 7 ) = 1 的正解 4 4 模型的破产概率 定理4对于任意t 0 ，有 皿( u ) 2 丽而云- 两R u 旷司 ( 4 4 1 ) d 2 6 曲阜师范大学硕士学位论文 其中兄为调节系数 证明对于任意n Z
