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1、Part I第第第二二二章章章电电电磁磁磁场场场基基基本本本方方方程程程历史背景：学习电磁场需要了解一定的历史背景，这对于理解电磁场的基本思想和表达形式有着重要的意义。电磁场经过高斯、安培、斯托克斯等人的研究，在独立的认识电场和磁场方面有了深入的认识。甚至总结了很重要的高斯定理和斯托克斯定理，以及安培的分子电流假说。然而将电场和磁场联系在一起，并沟通了电场和磁场运动规律的第一人是伟大的法拉第。法拉第是一个杰出的实验科学家，在实验的过程中，发现了电磁互相转换的实验规律。并且引进力线，电力线和磁力线等几何工具来辅助分析电磁场。法拉第的一系列创造性的发现，为电磁场的完整、严谨而又深刻的麦克斯韦方程组
2、的建立奠定了坚实的基础。本章首先从静态电磁场出发来考虑电磁运动的规律，逐渐扩展到动态电磁场的范围。可以说静电磁场分析是简单的，但同时是必要的，了解了静电磁场可以为动态电磁场的研究打下基础。有了静态电磁场的基本认知，动态电磁的相关内容就非常容易理解了。12.1 静静静态态态电电电磁磁磁场场场的的的基基基本本本定定定律律律和和和基基基本本本场场场矢矢矢量量量前面的讲解我们知道，场的问题关键就是源的问题，场的特性，与源的运动息息相关，可以一言蔽之，源决定场。那么电磁场的源是什么？电场的源就是电荷，电荷的运动特性决定了电场的特性，磁场的源应该是磁荷，然而自然界没有单一的磁荷，磁荷总是成对出现的，南极和
3、北极总是在磁铁中成对出现不可分割。然而，根据安培的分子电流假说，磁场的产生其本质在于分子电流的存在，因此，我们可以把电流看成磁场的源是正确的。以上的观点经历了百年的时间验证是正确无误的。而电流无非就是电子的定向运动。所以我们把电场的源归结为电荷，磁场的源归结为电流。电荷一般我们用符号q表示，而电流我们用J来表示。研究电磁场，通常要跟力学联系在一起，而力学中最为关键的两个量就是力和能量。2.1.1 静电场相关的基本概念空间中放置的静电荷会向四周发散电场，用电力线描述如下所示：如果在这个电力线中放置一个电荷就会产生作用，这个作用就是静电相互作用，我们称之为库伦力。力是个矢量，有大小和方向。定量研究
4、力的大小和方向就是一个很重要的命题。第一个研究电荷之间的作用力的定律是库伦定律，库伦定律给出了两个点电荷之间的作用力。如下图所示，两个点电荷之间的作用力：给定两个点电荷q1,q2距离为R = r r，那么两者之间的作用力为：FC= kCq1q2r2 r这里的k是个比例常数，跟万有引力的G类似。在国际单位制下，库伦常数kC=1401这里的0是真空中的介电常数。反映了真空的电学特性的常数。0= 8.854 1012F/m另外，真空介电常数提供了一个标杆，其它的物质内部的电学特性如何表示？介电常数表示某个介质中的电学特性。例如大地中的介电常数，空气中的介电常数，水中的介电常数等等。同时电磁学中也常常
5、引入一个相对介电常数来表示某个介质的电学特性：r=0通过库伦定律可以看出两个电荷之间的作用，是呈现平方反比关系的。也就是说距离越远作用越小，而且衰减的速度比较快。另外，我们也看到对于两个正电荷，力的方向与R的方向相同，但是如果是正电荷和负电荷之间作用的时候，方向恰好相反。所以使用库伦定律只要计入电荷的正负仍然是正确的。力是由场产生的，库伦力的产生离不开电场的作用。电场强度的概念就是用于描述场产生力的大小的一个恰当的物理量。电场强度的概念：一般我们研究一个点电荷q1产生的电场的大小的分布情况，就用一个量E (x,y,z)来表示电场的大小和方向。为了确定这个量，可以在电场的任意一点放置一个测试电荷
6、q2，通过测量测试电荷受到的库伦力来决定电场强度。需要说明的是电场强度是一个矢量：如果测量出(x,y,z)位置的力为F，那么改点的电场强度E：E =Fq2单位是伏特每米V/m。对于一个点电荷Q，引入一个足够小的测试电荷q，那么它的场分布为：E (r) = kQr2 r矢量我们知道它的运算法则是符合平行四边形法则的，因此对于矢量场也是符合叠加规则的，这个规则虽然简单，但是使用起来非常方便，我们把这一规则称为场的叠加原理。下面看一个例子：给定一段均匀的线分布的电荷，电荷密度为，线的长度为L，将该源放置于xy坐标系中如下图所示，求R处的电场强度（一种是放置到y轴，另一种放置到x轴）在l处取其中的一小
7、段dl，所带电量为dl，它在远端R处电场为，dE (r) = kdlr2 r所以总的电场应该为：E =dE (r)2确定r的大小比较容易，但要要仔细确定r的方向比较困难。为了积分方便，一般我们假设，r L.这时，处理起来方便多了，在远端的时候，我们一般认为其方向总是相同的。就是 r/ r。2.1.2 高斯定理、电通量密度电场强度是用于描述电场一个常用的物理量，但这个物理量只能反映简单介质中的电场强度。在一些介质中，介电常数非常复杂，尤其是非线性介质中，介电常数不是一个常数，它常常与电场强度有关系。要反映介质的这些特性，E的表示往往比较复杂。如果能够取消掉节点常数的，或许在某些应用中能够得到更加
8、简单的反映源特性的物理表示。电通量密度是描述电场强度的一个矢量，它可以取消电场强度中的介电常数，从而实现与介质无关的某些量的表示。D = E这个量就是电通量密度，也叫做电位移矢量。单位是C/m2。由此，可以简单的导出真空中点电荷的电通量密度为：D =Q4r2 r对于一个点电荷使用高斯定理：设S面为一个球其半径为R。ISD dS =ISQ4r2 r dS(1)=ISQ4r2 r nds=ISQ4r2 r rds=020Q4r2r2sindd= Q对于封闭面内若包围的体积内是以密度v分布的电荷，那么电荷总量就是Q =vvdv(2)对于式1应用散度定理：ISD dS =Iv Ddv则由式1和2得到I
9、v Ddv =vvdv3由于积分是对于任意的体积v都成立，所以必然有： D = v成立。如果说上面的式子蕴含的原理的话就是电荷守恒定律。上式被称为微分形式的高斯定理。换句话说就是空间中任一点的电通量密度的散度等于该点的自由电荷的体密度。这样就回归到第一章所讲到的，考察电磁场就是要考察其散度和旋度。电场强度和电通量密度之间存在着关系，但绝对不是等价的关系。以后在处理复杂介质中电磁场特性分析中会继续说明。而对于简单的线性材料而言，可以认为两者之间能够被认为相同或者相似的物理量。2.1.3 毕奥萨伐尔定律和磁通量密度的概念安培磁力定律表明了任意的两条细直、无限长、固定的、相互平行的导线，在真空中过的
10、相互施加的力作用可以表示为：fm=0I1I22r这里的0为真空中的磁导率，表明了介质的磁学特性。国际单位制中真空磁导率为，0= 4 107单位是H/m就是亨利每米。很明显，安培定律是有很强的限制条件的，取消掉细小无限长直线的导线限制、取消掉平行限制都需要进一步处理。现在来看两个磁荷之间的作用，假设有两个环形回路，那么两个磁荷之间的力的作用以及作用力的问题如下图所示：F =04Il1Il2Idl (Idl r)r2?注意这里的r是电流元Idl与Idl之间的距离，这个距离是不断变化的。因此处理上式中的积分比较复杂，需要进行假设处理。在习题中会有相关的介绍。上面的力跟库伦力是不同的，性质不同，作用方
11、式也不同。称之为磁力或磁场力。上面的公式是安培从大量的实验中总结出来的定律。称为安培磁力定律。这个定律是无法从库伦定律中推导出来的。进一步展开安培磁力定律F =Il1Idl 04Il2(Idl r)r2=Il1Idl B4其中的B =04Il2(Idl r)r2被称为毕奥萨伐尔定律，是Biot和Savart独立提出的实验定律。其中的B叫做磁通量密度，定义H =B称为磁场强度。之所以存在这样的关系，理由跟电通量密度和电场强度类似，某些复杂介质的磁导率是相当复杂的，非均匀的非线性介质其磁导率非常复杂。两者是不能完全等价的。然而库伦定律可以通过洛伦兹力反推出来，书上是用安培定律和毕奥萨伐定律推导的洛
12、伦兹力，这里用反推出安培定律。洛伦兹力公式：洛伦兹给出了在电荷和电流产生的电磁场中电荷收到的力，在既有电场又有磁场的环境中，电荷收到静电力和磁力作用：F = q (E + B)这是一个非常基本的公式. 去掉静电场的作用，先考虑一个一小段电流在磁场中的力：dF = dq B= dqdl/dt B= dlI因此受力为：dF = Idl B所以总的磁力为Fm=dF=l1Idl B再有毕奥萨伐尔定律既可以得到安培力的表示：以前B用于表示磁场的大小，是最先引进的一个矢量。例题：长2l的指导线上流过的电流为I，求真空中p点的磁通量密度由毕奥萨伐尔定律：解：采用柱坐标系：现在导线上截取一小段dz则该段导线元
13、在p(,Z)位置处的磁场，该线元到p的距离设为R。5R = + (Z z) zr =2+ (Z z)2dz z R = dz ( z R) z R = z ( + (Z z) z)= 应用毕奥萨伐尔定律：B =04Il2(Idl r)r2=04Il2(Idz R)r3=04ll(Idz R)r3=04llIdz(2+ (Z z)2)3/2=0I4lldz(2+ (Z z)2)3/2=0I4l z(2+ (Z l)2)1/2+l + z(2+ (Z l)2)1/2=0I2当l为无限时，2.1.4 安培环路定律对于一个无限长的直流导线，若以为半径对磁通量密度B进行积分：6IlB dl =Il0I2
14、 dl=Il0I2(d)= 0IIlB0 dl = I=IlH dl应用斯托克斯定理：IlH dl =S( H) dS同时对于电流SJ dS = IS( H) dS =SJ dS这里的J称为线电流密度。由于对于任意的曲面S都成立。所以 H = J这就是安培环路定律的微分形式：旋度不为零，说明磁场中存在涡旋源。进一步说，电流对于电磁场来说就是涡旋源。第三讲2.1.5 两个补充的定理上一讲，我们得到高斯定理的微分形式和安培环路定理： D = v H = J下面我们来看关于静电场的一个补充定理，关于电场强度的散度已经得到，然而缺了对电场相关的旋度的分析。以前我们就知道这样的事实，当我们让任意的电荷沿
15、着封闭的电力线一圈后回到原点，这个过程的做功为零：7IlqE dl = 0IlE dl = 0S( E) dS = 0上式对于任意的由l包围的曲面S都成立，从而得到： E = 0另外，我们也可以从梯度无旋，得到上面的等式：E = 所以对电场取旋度恒等于零。对于静磁场，由于自然界中，磁场的总是南北极同时存在的，当我们封闭任何一个曲面的时候，总是进去多少磁力线，就会出来多少磁力线，从下图可以看出，分别画出封闭磁源，和不封闭磁源的两种情况下的六面体。所以我们总可以得到：ISB dS = 0从而使用高斯定理：V BdV = 0 B = 0至此我们得到描述静电磁场的基本方程： D = v H = J E
16、 = 0 B = 02.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律2.2.1 法拉第电磁感应定律静电场的电场和磁场是由静态的电荷和恒定电流产生的，两者之间是孤立的，没有任何的耦合，相互之间没有能量的转化。电磁场一旦产生后，会恒定的分布于空间中，不随时间变化。然而，英国伟大的科学家法拉第发现，当一8个回路内的磁场通量发生变化时，就会产生一个电动势：并且可以简单写成如下的关系：= dmdt这里的电动势是被磁场变化感应出来，因此称之为感应电动势。电动势被看做沿着一个封闭的回路一圈后积分的结果： =IlE dl(3)在l所围绕出的平面内的磁通量可以表示成：m=SB dS所以就有：dmdt=ddtSB dS=S
17、tBc dS +tSB dSc第一项：磁场随时间变化时产生的电动势，后一项是环路面积运动时产生的电动势，叫做动生电动势。SB tdSc=Il( B) dl实际上，最后一项动生电动势的来源恰恰在于洛伦兹力的贡献。假设回路是静止的，那么感生电动势来源于：StB dS(4)此时的感应电动势联立方程3和4，可以得到：IlE dl = StB dS进一步用斯托克斯定理得到：S( E) dS = StB dS9上式对于任意的曲面积分皆成立，因此推导得到：( E) = tB上式的意义说明，变化的磁场称为涡旋源，并导致了感应电动势的出现。这个电动势区别于电荷产生的电动势。2.2.2 位移电流和全电流定律法拉第
18、电磁感应定律表明，时变电磁场的特性跟静态电磁场特性很不一样，时变电磁场的电场和磁场耦合起来，这种耦合反映在矢量上会有相应的变化，电场和磁场中的矢量耦合在一起，而且这种耦合跟介质的有无好无关系，这就是为什么电磁场能够在真空中能够独立传播，并不需要以太这样的介质的根本原因。反应在能量上会有磁场和电场的能量相互转换。通过前面的分析我们看到，变化的磁场感应出了额外的电动势，因此我们需要重新补充静态电磁场的基本方程，以适应新的情况。也就是说我们需要重新修订静态电磁场的关于电场的旋度方程，( E) = tB + 0 = tB原本静电场中沿着任意的封闭的电力线回转一周做功为零，但是现在不行了，变化的磁场又给
19、添加了一个动生电场，做功不能为零了。对于上式更深刻的理解是，随时间变化的磁场称为了一个新的涡流源，从而使上面的方程变化了。但是，我们应该小心，这种新添加的涡流源对电场的散度有无影响呢，真是太幸运了，因为任意的旋度场无散。所以不会有变化。当然磁场的这种变化更不会影响自身的东西，因为磁场的源来源于电流：所以根据法拉第电磁感应定律重新写出的电磁场方程： D = v H = J E = tB B = 0对于方程组中的参数，我们都应该非常明白其物理意义。唯一性定理告诉我们要坚持不懈的研究场的散度和旋度。而且只需要研究场的旋度和散度。这样我们就能够把场的源搞清楚了否则会混乱起来。对于电磁场我们还有一条非常
20、重要的定律，就是电荷守恒定律。给定一段导线，有电流为I，其线电流密度用J来表示，那么我说，对于线电流沿着我任取的一个体，流程的电流，就是这个体积内电流的变化率：这个可以用电池来说事。【一个电池，正极出发流出，电流的加和一定等于点源中电荷的变化率】ISJ dS = dQdt= I上面的等式就是电流守恒定律的积分表示。10此时由散度定理：ISJ dS =V JdV同时我们有Q =VvdV所以有电荷守恒定律的微分表示形式为： J = ddtv电荷守恒定律是很基本的自然规律，任何方程都应该遵守。但是麦克斯韦在推导过程中，发现上述描述时变场的定律是不符合电荷守恒定律的。麦克斯韦首先对 H = J取散度
21、( H) = 0(5) J = ddtv所以必须对以上方程进行修正，这个修正就是麦克斯韦修正项。 ( H) = J +ddtv= (J +ddtD)所以 H = J +Dt其中的修正项Dt我们称为位移电流。关于位移电流的性质，我们会在以后的讲解中逐渐展开。现在我们知道，麦克斯韦重大发现就是为磁场这一项添加了修正的位移电流。这一项虽然不起眼，但是却至关重要。翻过来说，法拉第说磁生点，但没有说明电流的变化会出现什么效果。而麦克斯韦直接指出，变化的电场可以产生磁场。其中的电流项，J表示电荷运动产生的电流，而位移电流并不是电荷定向运动产生的，而是电场的变化量。但是其效果跟电流相同，都是产生了磁场。1.
22、12.2.3 全全全电电电流流流连连连续续续性性性原原原理理理通常所说的电流指的是在导体中定向运动的电子，如果用线电流来表示大小的话，Jc= E。线电流的大小跟电场成正比关系。比例系数叫做电导率，表示导体传到电流的能力，同样的电场强度下，电导率约到，产生的电流越11强。这个电流我们称之为传到电流，还有一种电流并不是在导体中传播的，而是在自由空间，例如电子枪和电离的空气和液体。这种电流叫做运流电流，Jv= v.其中的v，分别是电荷的体密度和运动速度。最后一项Jd就是位移电流，他具有电流的量纲，而且能激发磁场。因此从场的观点出发，其效果跟电流一模一样。三者相加才是场中的全部电流：Jt= Jc+ J
23、v+ Jd记住这里的各个线电流是矢量。全电流定律表面表示成电荷守恒定律：就是 Jt= 0就是电流产生的源没有增减。如果给他一个严格的推导就是上面的式子5既有 Jt= (Jc+ Jv+ Jd) = 0电荷守恒定律的微分形式：对于任意的封闭曲面S，积分并运用高斯定理：IS(Jc+ Jv+ Jd) dS =v (Jc+ Jv+ Jd)dv = 0所以必然有It= Ic+ Iv+ Id= 0穿过任意点的全电流必定为0。基尔霍夫定律是说对于电路上的任意一点，我封闭该点的面，那么这个点上流入多少电流，那么流出多少电流。基尔霍夫定律在电路中是屡试不爽的。但是对于特殊的电路，基尔霍夫定律是错的，如果这个电路包
24、含了运流电流或者是位移电流。那么机械的套用基尔霍夫定律就会产生错误的结果。下面来看一个例题：例2.2 电路中有一个平板电容器，电压是时变电压U (t),推导电压与电流之间的关系。设平板电容的面积为A,间距为d，内部电介质的介电常数为。解：分析在该电路中，首先确定的是电容器内既没有传导电流也没有运流电流。只有电场的变化产生的位移电流这一项：I = Jd S = JdA=DtA=EtA=EtA12对于电容器：E =Ud所以有：I =U (t)tAd其中的系数Ad= C就是电容。由此，给出一个更加复杂一点的例题：设一个电路，有一个电源U (t) = 2cos(t)，串联一个电阻R，和一个电容，电容的
25、大小为C，求该电路的电流的大小：求解在电容上的电压Uc，Uc= U (t) IR(6)而电流等于I =UctC由此得到，I/C =Uct对于式6，两边对时间进行微分：Uct=tU (t) RtI从而得到：I + RtI tU (t) = 0求其通解就得到该方程的电流。求解电流有另外的一套办法：对于电容，其电阻可以写成Rc=1jC所以电流自然等于I =U (t)R + Rc2.3 对于麦克斯韦方程组的总结与分析：从原始发现的角度上讲，麦克斯韦对于电磁场贡献在于，提出了位移电流的概念以及从理论上语言了电磁场与光波是一致的。这两个原创工作的直接结果13就是导致了完美的和谐的麦克斯韦方程组的建立，另外
26、也彻底为人类深刻的认识电磁场，提供了研究的工具。电磁场的一些特性，正是在麦氏方程的指导下逐步展开的。关于麦克斯韦方程的启示录：1、麦克斯韦方程提出的过程值得我们学习：划定你的研究对象相当重要，当高斯首先研究了静电场并提供了一系列研究的工具时，安培自觉的避开了高斯的电场研究了静磁场，如果他依然决然的研究静电场的话，光高斯的伟大路程就够他重复很长时间甚至无法超越。最终这两个工作都具有开创性的。艰苦朴素的电磁学实验家法拉第没得玩了，就干脆进一步研究的动态磁场的特性吧，结果真让他蒙对了研究方向，变化的磁场果然产生了电流。法拉第成功了，于是牛得一塌糊涂。“我的发现是隐藏着重大应用的。”。实验科学家可以不
27、懂数学，就像农民不是什么理论家照样可以种好庄稼一样。但是你也可以选择另外一种方式进行“种地”，不用自己亲自动手，只要做好你的理论预言工作就行，你可以宣称今年的庄稼必然收成很好，但明年的庄稼会有严重的灾害，但问题在于你的预言是准确的，别人一定替你种地，而且奉你为圭臬。麦克斯韦就是后者，他是科学中的理论家，麦克斯韦一定也觉得，世界上只有磁生电不爽，应该加上电生磁的现象，所以补充了电流定律。称之为全电流定律。世界和谐了，男的可以变娘娘，女的可以变成女汉子！没有其他的事情不能相互转化的了！我们中国的阴阳鱼，就说明了自然界中的确存在着相互转化，刚不可久柔不可守，福祸相依等等。2、自然界之间一定存在着简单
28、的和谐的东西，是现在的理论所不能够表达清楚的，以至于我们并不能容易学好学会！后面的发展持续的印证着这个传奇，万物归一，我们提出了万能的希格子，万理归一，我们提出了麦克斯韦方程。并且用哈密顿或拉格朗日表达的能量进一步简化归一。但世界的终极理论是什么，这是一个永恒的话题，人类你只能得到当时条件下的真理，但永远都不会获得终极物质和终极理论，只有上帝才知道什么是终极理论。3、麦克斯韦方程组的优美表现在只用一个纳布拉算符就足以描述清楚电磁规律。4、麦克斯韦方程组的对称更突显了这个理论的和谐与美。我们以极大的敬意写下麦克斯韦方程：微分形式积分形式名称及物理含义 D = v H = J +Dt E = tB
29、 B = 0IsD dS = QIlH dl =Is(J +Dt) dSIlE dl = tB dSIsB ds = 0高斯定律全电流定律法拉第定律磁通量连续性原理 J = vtIsJ ds = dQdt电流连续性方程2.3.2本构关系和波动方程：本构关系（constitutive relationship），描述了介质对场中各个参量之间的影响。目前为止我们接触过三个本构关系：第一个是电场强度和电通量密度14之间的关系：D = E第二个关系是反映了磁场强度和磁通量密度之间的关系B = H第三组关系是反映了线电流密度与电场强度之间的关系J = E对于真空，三个参量分别为 = 0, = 0, =
30、0.空气中也接近成立。对于 = 0的介质我们称为理想介质，而 = 的导体，为理想导体。物质和物质之间的不同就是这三个参数不同导致的。另外对于写成本构关系的导体，我们称之为简单介质。是指该介质是均匀的、线性的和各向同性的。这是一个非常理想的情况，因为对于大部分的介质，本构关系是无法满足的！这里为了学习的方便性特地指出本构关系。用于研究像空气、真空、水、大地这样的介质。（1）如果介质的参数与位置无关，那么我们称之为均匀的（homogeneous）即：参数对于位置的偏导始终为零x 0（2）如果媒质参数与内部的变量没有关系，也就是说，不是电场的变量，而也不是磁场强度的变量，我们说这个介质是线性的（li
31、near），否则就是非线性介质。非线性介质会带来非常重要的非线性现象，有的是有利的有的表现为不利。例如，孤子，这个罗素的发现，水波一直能够保持它苗条的身形向前传播几十公里的现象很让人费解，一般波包总是以震荡波的形式向前传播，但是这里不是，而是始终保持了它的形状。目前孤子被广泛应用于长距离的光通信和海洋通信之中。另外非常常见的非线性现象是倍频现象，当光波通过这样的非线性介质时，频率被加倍了。这个就是我们的现在电路上常用的晶振倍频产生的机制。通过倍频和选频，晶振能够给出从几十兆赫兹到几百兆赫兹的时钟信号。（3）如果媒质参数与场强的方向无关，我们称之为各向同性的（isotropic）电场这个矢量可以
32、被分为水平和垂直两个分量，如果一个参数在这两个方向上都相等，我们说这个物质为各向同性介质，否则为各向异性介质。画图表示：（4）色散媒质，如果介质的参数跟频率无关，恒为常数则为非色散介质，否则为色散介质。此时的介质是频率的函数，表现为传播速度，有的快有的慢。例如具有多个频率的一束电磁波穿过介质，传播速度跟频率有关则为色散介质。电磁场的波动方程：凡是以波的形式传播的运动，总可以写成波动方程，例如水中传播的水波，其波动方程可以写成如下的二阶齐次方程：152A 12A22t= 0那么电磁场有没有这样的方程呢，只有找到类似的波动方程，我们才能说明电磁场的确是一种波动。借助于神器-麦克斯韦方程，我们来找找
33、看：假设我们是在一个简单介质中，且介质中没有电荷分布。这个假设对于很多介质都成立，例如真空，大气、玻璃。首先对于电磁场的推导，都是从旋度定义的两个方程开始的：先对其中的第三个方程，即法拉第电磁感应定律进行推导： E = (tB)left = ( E) 2Eright = t( B)= t( H)= (J +Dt)= 2Et2这里根据假设，没有传导电流和运流电流。对于无电荷分布假设 E = D= Dc+ Dc= 0所以有 2E = 2Et22E 2Et2= 0而 =12其中的是电磁场在该介质中传播的速度。所以我们获得了电场强度的波动方程。对于磁场类似也可以得到：2H Ht= 0以上就是在简单介质
34、中传播的电磁场所遵循的方程。但是对于非简单介质上面的方程是不成立的。对于最一般的方程我们可以类似的推导，但是一定搞清楚该介质的本构关系。材料的属性就是本构关系，这对于任何介质都是成立的。这里一个问题，从麦氏方程加上本构关系来描述电磁场的特性，其实是复杂的，能否找到更基本的关系，来等效于以上方程？下面就是对这个问题的进一步思考。162.3.3 电磁场的位函数在进一步简化麦氏方程的过程中，我们仍然要坚信，麦氏方程不是最简单的哪一个，应该还有其他的量表达起来比麦氏方程更简单。如同对牛顿定律的研究，一开始我们使用牛顿定律加上受力分析，对质点，甚至是杆的定量描述都是没有问题的。然而在处理轮船在海水环境下
35、的震动，大楼的受力分析，等等这样的复杂物质分析时是相当困难的。甚至我们用牛顿力学无法描述流水的某些特点，以及飞机在空气中飞行时的动力学特性。借助于能量的观点，而非仅仅从局域的出发分析，往往能够化繁为简，得到意想不到的效果。其实细数物理学的进展，有几个原理是不得不知道的，一个是最小作用量原理，能量守恒、电荷守恒。已经知道，电场的所有的参数可以通过一个标量函数，来表示一个电场潜在的能量，这个标量函数被称为电位势，简称电势。静电场的电场强度可以通过这个函数诱导出来：E = 但对于动态的电磁场，上面的等式是要修正的。如何修正，通过麦克斯韦方程能不能得到修正以后的方程？我们坚信麦克斯韦方程组包含了全部的
36、电磁学，那么一定可以找到合适的方法得到我们所需要的任何物理量的正确表达。首先我们对麦克斯方程中的磁通量连续性定理 B = 0同时我们也知道旋度场的散度恒等于零。因此引入一个矢量A，将B定义为：B = A。这个函数被定义为矢量位函数，简称为磁矢位。如同电场的电势，这个函数表明了磁场所潜在的能量。再根据麦氏方程中： E = tB带入磁矢位表示的磁通量密度表示：得到 E = t A (E +tA)= 0由于梯度场的旋度恒等于零，记：梯无旋。所以可以设一个标量场：E +tA = 此时，引入的这个标量场形式上满足麦克斯韦方程组的推导，但这个标量场是有意义的，这个场我们称之为标量位函数简称电标位或电位。后
37、面的符号就是为了配合，在不含事变项的时候，电场华为静电场，跟静电场统一起来。于是我们就有了关于静电场修正后的电场强度：E = tA 17不论是磁矢位还是电标位，他们都说明了电磁场所蕴含的能量。下面我们来看磁矢位和电标位所遵循的运动方程：根据磁通量密度的定义B = A，磁场强度可以用A重新写出H =1 A，带入麦克斯韦方程组： H = J +Dt A = J +Dt( A) 2A = J +Dt( A) 2A = J +Et( A) 2A = J +(tA )t= J 2t2A t( A) + t J = 2A 2t2A( A + t) J = 2A 2t2A上面的方程具有并不能确定电磁场的全部
38、，因为还有散度没有确定。磁矢位的散度如何确定呢？需要对A求散度，但已经证明这个散度无论如何，是得不到。麦克斯韦方程中不含有磁矢位的散度的规定。那么这个方程该如何得到？不妨来个大胆的假设，既然麦氏方程不含有某个量的方程，那么我们说这个量必然是一个自由量，可以任意的假设。第一个假设： A = 0这个规范，我们称之为库伦规范。那么上面的方程就可以被化简为：2A 2t2A = t J(7)对于电标位，将式E = tA 代入麦克斯韦方程组中的 D = v E =v(8)t A 2 =v2 = v18从而得到磁矢位和电标位新推导出来的麦克斯韦方程：2A 2t2A = t J(9)2 = v(10)另外一个
39、规范叫做洛伦兹规范：定义 A = t于是磁矢位的方程得到简化：2A 2t2A = J(11)但电标位的方程就稍微复杂了一些：2t2 2 =v(12)2 2t2 = v上面的方程是库伦规范下的磁矢位和电标位的运动方程，实际上就是波动方程的一个变种。是非齐次波动方程。我们可以用一个新的符号来表示上面的两个方程：定义一个新算符：? = 2 2t2可以把以上方程简单的写成：? = v?A = J(13)上面的算符被称为达朗贝尔算子，达朗贝尔算子表明，时间这一变量跟空间坐标变量作为电磁场的参数，其实质是一样的，当把时间变量作为通常的变量时，时间的拉梅系数不同而已。时间空间是统一的，新的时空观建立起来了，
40、任何的定律无非是时间和空间之间的一个变换而已。这个就是新的时空观。通过对磁矢位和电标位的推导，知道了两个新的量所代表的方程。然而我们不禁要问，引入这两个量仅仅是为了简化麦氏方程，仅仅是为了表面电磁场是一个波吗？确实，刚开始的时候就是这样的，而且在经典电磁场中，磁矢位始终就是个没有物理意义的量，然而在量子力学中磁矢位具有确定的物理意义。习题6、写出达朗贝尔算子的形式，并用达朗贝尔算子写出磁矢位和电标位的运动方程？195、引入一个磁矢位A和电标位，将B定义为：B = A，利用麦克斯韦方程组给出任意电磁场的电场E的表达式。4、简答什么是简单介质。3、利用麦克斯韦方程组证明在简单介质中，电磁场中的电场和磁场符合波动方程。2、写出介质的本构关系（constitutive relationship）。1、全电流表示形式：Jt= Jc+ Jv+ Jd各个部分的电流的意义是什么？全电流定律表示成电荷守恒定律： Jt= 020
