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1、第七章贝塞尔函数7.1 Bessel 方程及其幂级数解定义:称Bessel 方程为:其中，n为任意实数。当n0时，取级数解有代入原式，有得，取c=n, 有定理：取得有一个特解取c=-n, 得另一个特解称Jn(x)为第一类Bessel 函数。当n不为整数x-0时，有Jn(x)-0, J-n(x)-, 则Jn(x)-与J-n(x)不相关。由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n不为整数，Bessel 方程的通解为由级数收敛差别法，有式中R为收敛半径，可知R=,则Jn(x)与J-n(x)的收敛范围为0|x|定义：当n 为整数时，Jn(x)-称为整数阶Bessel 函数例计算J0(1)的前三项和。
2、定理，n 为整数时，Jn(x)=(-1)nJ-n(x)证，取m=n+l, 得可见正、负n阶 Bessel 函数只相差一个常数因子(-1)n，这时 Bessel 方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解。定义1 Neumann 函数称为第二类Bessel 函数。定理：综合上面所述，不论n 是否为整数，Bessel 方程的通解都可表示为其中， A, B为任意常数；n为任意实数7.2 Bessel 函数的母函数定义 函数称为Bessel 函数的母函数。取有定理：7.3 Bessel 函数的正交性例：求解，由于方程的通解为取有则有的通解为要求y(0)为有限值，得由y(1)=0, 得设Jn(x)=0的
3、零点为则有固有值固有值相对应的固有函数为定理：证:由于都为下面方程的解有分别乘相减从0到1积分,当km时，有当km时，有证毕。定理：称f(x)在0,1中的展开式为例展开f(x)=4解：例：求解，取u=R(x)Z(z),有，则它的固有值和固有函数有由Z(z=0)=0, 有取有求得所以第八章 Legendre 多项式8.1 Legendre 方程及其幂级数解定义:称Legendre 方程为取级数解有代入原式，经过适当的整理，得取c=0,得或定理,y0,y1相互独立.例,求定义, Legendre 多项式（或称为第一类Legendre 函数）例求定理:定理Legendre 多项式满足以下的递推公式定理Legendre 多项式序列在区间-1, 1上正交例展开
