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1、物理学报Acta PhysSinVo163，No6(2014)066701 从光晶格中释放的超冷玻色气体密度密度 关联函数研究冰 李艳十 (湖南文理学院物理与电子科技学院，常德415000) (2013年10月18日收到；2013年11月13日收到修改稿1 利用量子旋转场理论详细研究了从光晶格中释放的超冷玻色气体的空间密度一密度关联函数由于量子 旋转场理论充分考虑了光晶格中冷原子气体的粒子数涨落和相位效应，该理论能有效应用于具有强相互作用 的冷原子系统，从而光晶格处于超流态到绝缘态逐渐过渡过程中的超冷原子气体的关联特性在这一理论体系 下都得到了很好的描述结果表明：随着超冷玻色气体逐渐从绝缘态向
2、超流态过渡，其密度一密度关联图样中 连续对角斜线也逐渐向分散的尖峰过渡，理论结果与目前实验观测到的结果符合除此以外，上述密度一密度 关联的结果中还包含了超冷原子系统量子耗散效应，相关结论与目前已有的理论和实验一致 关键词：超冷玻色气体，光晶格，密度一密度关联函数 PACS：6785Hj，0375Kk，0530Jp，6710Ba DOh 107498aps63066701 l引 言 近年来，光晶格中冷原子的实验研究获得了很 大进展囚禁于光晶格中的冷原子系统是一个非常 纯净的强关联量子多体系统具有强量子涨落的强 关联系统在关于稀薄量子气体的实验研究中发挥 着越来越重要的作用1】光晶格实验系统提供了
3、研 究某些基础物理理论的实验平台，也是揭示量子多 体体系特性的有效途径【0，引 众所周知，处于光晶格中的具有排斥相互作 用的超冷玻色气体体系的基态可以是超流态fSU perfluid state)，也可以是绝缘态fmott insulating state)4，引当玻色子在晶格间的跳转效应fhop ping)被压制下来时，系统会从超流态f典型的特征 是每个晶格中的粒子数涨落很大1经历相变至绝缘 态(每个晶格中的粒子都是整数，无粒子数涨落1 由于序参数的相位和粒子数是一对共轭量，因此它 们满足不确定性原理ACAn一亢，而玻色系统的本 征态可以是相位或者是粒子数算符的本征态相位 算符的本征态即是超
4、流态 而粒子数算符的本征态 则是绝缘态 光晶格中的超冷玻色气体可以用Bose Hubbard模型描述 ，引，而针对这一模型的理论 研究较多，如粗粒化方案(coarse graining)【7、强耦 合展开理论fstrongcoupling expansion)s,9】、中场 理论【1o都被成功应用于一维、二维、三维超冷原子 一光晶格系统的求解另外一种超越中场理论基于 Gutzwiller波函数和系统强耦合展开的方法也被应 用于该系统的求解并获得了实验验证11,12，然而 这个理论进展主要得益于用来处理量子蒙特卡罗 数值计算的计算机性能的提升基于光晶格中冷 原子体系的特性，Polak等【13】在
5、中场近似理论的基 础之上发展了一套更为强大的量子规范旋转场理 论(quantum phase field u(11 rotor field)J，这一 理论可以有效地描述处于光晶格中的强关联的冷 原子系统这个理论的核心思想是把关于超流态 到绝缘态转变的相关场变量分解为玻色场部分和 相位部分，而相位部分的效应在传统的中场近似中 国家自然科学基金理论物理专项(批准号：11247299)和湖南文理学院博士启动基金(批准号：13101038)资助的课题 t通讯作者Email：liyan_2001126corn 2014中国物理学会Chinese Physical Society 0667011 ：wul
6、ixb hyacc 物理学报Acta PhysSinVo163，No6(2014)066701 是没有考虑的该理论的优点在于使原本复杂定 性的相图变得定量化，因此基于该模型的理论分析 过程通常都是解析的量子旋转场理论提供了一 个自洽的并适用于求解各种情形下f包括强相互 作用下)的超冷原子一晶格系统量子旋转场理论 己被成功地用于研究处于光晶格中强关联冷原子 体系的各种特性如量子旋转场理论及其相关扩 展理论可以有效地计算处于光晶格势阱的冷原子 气体，包括玻色子【14， 5】、费米子16、玻色一费米混合 气体17的相图量子规范旋转场理论也可以揭示 光晶格中的冷原子气体的关联特性，如可用来计算 系统的
7、飞行时间光谱ftimeof-flight patterns)18J、 谱函数fspectral functions119】等利用量子旋转 场理论得到的理论结果也得到了其他理论的支 持2o1 ，包括蒙特卡罗数值计算方法22和图表微 扰理论【23J 量子涨落对量子相干性具有重要影响，研究量 子系统相干性的一种重要的手段是密度一密度关联 函数(二阶关联函数124,25】，其定义式如下： G )( ， )=(n(r)n(r，)一(礼( )(n(r，)， (1) 这里n(r)=at(r)a(r)为空间密度算符，场算符 a(r)表示在位置r处湮灭一个粒子；G( )( ， ) 表示在位置 和 均探测原子的联
8、合概率， G( )f ，r )=0代表没有纠缠的粒子，而 G(2)(r， )1(1)则表示原子有聚集(离散) 的特性，典型的例子如玻色子(费米子)；()代表量 子统计平均，实验室可以通过对同一物理过程多次 测量并取平均得到实验上，超冷原子的密度一密 度关联函数可以通过如下技术手段得到：超冷原 子气体从势阱中释放后经过一段定时的自由飞行 ftimeof-flight)后，再通过饱和吸收的共振光谱记 录下超冷原子气体的密度分布通过多次测量所得 到的结果就可以分析得到超冷原子密度的涨落之 间的关联，即密度一密度关联理论和实验都表明以 上的密度一密度关联函数可以揭示超冷原子气体的 多体关联特性2634
9、 目前大多数的理论和实验研究都着重于研究 光晶格中处于绝缘态或超流态的超冷原子气体的 密度一密度关联函数35_3 8l，但很少并且也缺乏一 个统一的理论可以研究从超流态到绝缘态逐渐过 渡过程中的超冷原子气体的高阶关联特性本文利 用量子旋转场理论并结合Bogoliubov理论来研究 处于光晶格的超冷玻色气体的密度一密度关联函数， 在此基础上展示了从超流态到绝缘态转变的过程 中原子气体密度一密度关联函数的变化实验观察 到的从光晶格释放的超冷原子气体密度一密度关联 函数的一切特性在均包含在本文的理论结果中，例 如处于绝缘态和超流态的冷原子气体的关联特性、 量子耗散对密度一密度关联函数的影响、冷原子气
10、 体背对背关联G(2)(r，一 )(back to back)和同线关 联G(2)( ，r)fcollinear correlation)等35,39,40】本 文的结果与已有的其他相关理论结果亦完全相符 2理论模型和分析 处于光晶格中的超冷玻色气体的哈密顿量可 用如下的BoseHubbard模型描述6】： H=一tnt( )0(r )+。 ( ( ) (r， ) + U礼。( )一 礼(r)， 这里算符n( )和0十( )分别代表在位置7处湮灭 和产生一个粒子；而 ，r )表示相邻近的格点； n(r)=at(r)a(r)是密度算符；这里常数t代表邻近 晶格间原子跳转(hopping)的强度，
11、当一个玻色子 从一个晶格跳转至另一个邻近晶格将获得能量t； 常数 则代表处于同一晶格中的玻色子之间的相 互作用强度，将一个玻色子加入该晶格将消耗能量 ；公式中的 = + ，这里 是系统的化学势 f1)式所定义的系统的量子统计平均可以用如 下的关于场变量a(rT)的路径积分来描述： 厂 z：D面 0e一5【。， ， (3) t， 这里a(rT)是关于“虚拟时间”7-：0丁 三 1kBT的函数( 是玻尔兹曼常数，而 表示温 度)且满足周期性条件：a(rT)=a(rT+ )，作用量 S表示为 P8 I s。 0=dT J (r) + 丁 下) 对场变量a(rT1进行局域规范变换 a(rT)：b(rT
12、)e ( ， (5) 于是玻色场包含了玻色部分b(rT)和附加的“通 量e 咖( ，则(3)式变为 z= bb 】 (6) 0667012 91 物理学报Acta PhysSinVo163，No6(2014)066701 系统的量子统计平均积分也可以通过对玻色部分 和相位部分的作用量分别积分再相乘得到，两部分 作用量表示如下： s 【纠=一In be-S【 j6，训， (7) & ，hi：一InI：)纠e-S b，纠 (8) 于是 z=【0纠e-$ ： 5 6e-Sb (9) 由于相位场变量 ( )是三角变量，在实际计算中 较难处理为了计算的方便，引入一个新的场变量 z(rT)：expi(rT
13、)，这样相位部分的作用量变为 gz ， 】，而相应的路径积分 则变成92Dz(1) 式的量子统计平均定义为 D e-Sx 一 这里 可以是a，b， ，或 ，而其相对应的作用量 分别是s。面，a，s6 ，hi，s ， 【 ，6I或s 乏， ，因 此，玻色场的序参数可以计算为 =(0( 丁) =(6( 下)b(expi ( 丁) (11) 当 不等于0时，系统具有长程相干性对于玻色 部分的作用量& 通过近似把玻色部分场算符 分解为宏观玻色凝聚BogoliubovP4kN)b0= 和非凝聚体涨落部分6d( 7-)，即 b(rr)=bo+bd(rr)， (12) 因此超流序参数可以表示为 =bomo，
14、 (13) 这里mo：(expi (r7-) 基于(10)式，可以求得下面几个格林函数 的值is1： Ge(k， p)=(乏( ， p) ( ， p) 1 4tlbole-2tbgek+Uv(p。一 ( )+i 】。 Gbd(k,wp)=( )b( ， )=2t(e_o- k) +U lbol2+iWp， G。d( ， p)：(6( ， )6(一 ， )=(5(一 ， )5( ， )=一 U lbo l2 这里 p：2p9(p=0，1，士2，) Bose Matsubara频率16，场量b(kcJp)( ( )， ( ) ( ( )分别是场量6( 7-)( (r丁)， (r丁)( ( 丁) 的
15、傅里叶变换函数 ( )兰X一X一12(Ix】指取 实数X的整数部分)，而E。=cos(ak )+cos(ak ) 和E岛= 二 ) ( 一 )+2U)bo)2 3结果与讨论 根据(11)式，如下四体关联函数可以分解为 Gjkl =(面( 7-)n(r 7_)a(n7-，)a(rm 7_，) ：(b(rj)b(rv)b(rt7，)6(rm7-，)b ( ( j丁) (r 7-) (ri 7_ ) (r 7- ) (17) 同理，两体关联函数 c ：(面( J丁)0( 丁) (14) (15) (16) =( (rj丁)6( k7)b(牙(rj 7-) (rk下) (18) 光晶格中的玻色子在动量空间的密度密度关联函 数可以通过下式计算： G(2)( m 唧 ) +ik ( fr )】drdr 一n( )n(昆 )， (19) 其中 )=0卢 eXp【i r d下 是玻色子在动量空间的密度分布按照文献18的 计算方法，可以算得 0667013 Gjk ：Bjkl km， (20) 物理学报Acta PhysSinVo163，No6(2014)066701 其中 B f =( ( j 7-)6(r 丁)云( l 7- )6(r 7- )b =m +m3 ( ，r，0)+
