《离散的倒向随机方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散的倒向随机方程（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华中科技大学 硕士学位论文 离散的倒向随机方程 姓名：谢小科 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：王湘君 2010-05-17 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 I 摘摘 要要 考虑由布朗运动驱动的倒向随机微分方程，当我们把布朗运动用随机游动离散 化以后，可以得到一个由具有可料表示的离散鞅驱动的离散化的倒向随机方程，因 此我们不妨考虑一个直接由具有可料表示的离散鞅驱动的倒向随机方程，第二章通 过无套利市场条件下的（B,S）模型和经典的掷硬币下注策略说明具有这种可料表示 的离散鞅是存在的，也即假定的这种倒向随机方程是
2、合理的，第三章证明了其解的 存在唯一性，进而讨论了连续依赖性，一维情况下的比较定理，与正向随机方程耦 合的倒向随机方程以及 g-期望。在最后一章，我们首先介绍了无套利市场条件下 （B,S）模型未定权益的传统的定价原理和方法，继而介绍了倒向随机方程 g-期望， g-鞅对未定权益的定价方法， 通过比较可以发现， 倒向随机方程的方法不需要构造自 融资的投资组合而仅仅只需要做一个鞅的 Girsanov 变换，从而大大简化了步骤，在 离散化的条件下，能更加方便的用计算机进行处理。最后作为结束，在离散时间框 架下对远期合约和欧式看涨期权的定价公式做了推导。 关键词关键词: 倒向随机方程，离散鞅，鞅的可料表
3、示性，未定权益，自融资策略 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 II Abstract Considering the backward stochastic differential equations driven by a Brownian motion，When discretizing a Brownian motion with Random Walk，we can obtain a discrete backward stochastic equations driven by a discrete martingale
4、 which has the predictable representation property。So we may focus directly on a backward stochastic equations driven by a discrete martingale which has the predictable representation property。Chapter 2 states that this kind of discrete martingale which has the predictable representation property is
5、 common by introducing the (B， S) model of no-arbitrage market and classical betting a unbias coin strategy，that is，the existence of this kind of backward stochastic equations is certain。Chapter 3 defines the existence and uniqueness of the solution of this kind of BSEs and gives the existence and u
6、niqueness results of the solution under Lipschitz condition。Moreover，continuous dependence property，comparison theorem in one dimension ， forward-backward stochastic equations (FBSEs) and g-expectation are discussed。For the last chapter，traditional pricing method of contingent claim in no-arbitrage
7、(B，S) market is fistly introduced，and then，pricing method of g-expectation of BSE is given，from comparison we can see that all its need for pricing method of BSE is to make a Girsanovs transformation of martingale， without constructing a self-financing portfolio，which is indispensable in traditional
8、 pricing method and always proved to be troublesome。In the discrete framework，many numerical solution can be conveniently done by computer。At the end of the essay，pricing formula of Forward and European call option are deduced in the discrete framework。 Key Word: backward stochastic equation(BSE)，di
9、screte martingale，the predictable representation property of martingale，contingent claim， self-financing strategy 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位
10、论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 绪论绪论 1.1 倒向随机微分方程
11、的发展现状倒向随机微分方程的发展现状 倒向随机微分方程(BSDE)研究的最初动机来源于随机占优控制理论，线性情况 始于 1973 年 Bismut1的研究；1990 年，Pardoux-Peng2证明了布朗运动驱动的非线 性倒向随机微分方程的解的存在唯一性；1992 年经济学家 Duffie 和 Epstein3发现倒 向随机微分方程可以用来描述不确定经济环境下的消费偏好即效用函数；彭实戈4 通过倒向随机微分方程获得了非线性 Feynman-Kac 公式，从而可以用来处理 Navier-Stokes 方程和反应扩散方程等许多重要的非线性偏微分方程组；Karoui 和 Quenez5发现用 BS
12、DE 能够解出许多重要的金融市场中的衍生证券的理论价格，如 期权期货等。倒向随机微分方程发展的时间虽然较短，但是发展迅速，在数理金融、 非线性偏微分方程、金融经济学、随机控制等领域有着广泛的应用。 最早关于 BSDE 的解的存在唯一性的证明是 Pardoux-Peng 做出的，他们研究了 如下形式的 BSDE： () ;, ,tttttTdYf t Y Z dtZdWY= +=， (0.1) 其中系数: 0, dd md fT ，且关于变量 Y，Z 是一致 Lipschitz 的，终端条 件是平方可积的， 唯一解是一对平方可积的F-适应过程()(),tttTY ZY Z=， 其中F 是概率空间
13、(),PF上 m 维布朗运动生成的完备代数。 由于在许多实际感兴趣的应用上一致 Lipschitz 的条件显得太苛刻，因此许多科 学家做了大量尝试来放宽 f 的这一假设。 Pardoux 和 Peng6在 1994 年以两种方式弱化了一致 Lipschitz 条件： (1) f 关于 y 是局部 Lipschitz 的， 关于 z 是一致 Lipschitz 的；(), ,f t y z关于变量(),y z 满足线性增长条件，终端条件有界。 (2) f 关于(),y z连续可微且有局部有界的一阶偏导数，是维纳空间上的有界随 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学
14、 硕 士 学 位 论 文 2 机变量且其导数也有界。 通过研究一个更加一般的 BSDE，Mao 7在 1995 年证明了若 :0, dd md fT ， 满足： ()() () 2 22 11221212, . .f t y zf t y zyyc zza s+， (0.2) 其中0c ，): 0,0, 为一个凹的非降函数满足( )00=，( )0,0uu 且 有 ( ) 0 du u + = ，则方程(0.1)有唯一解。 Lepeltier 和 San Martin8（1997）得到了一维 BSDE 最大有界解的存在性，当 f 连续且满足线性增长条件，平方可积。 Kobylanski9（20
15、00）证明了当 f 连续，Z 满足二次增长条件且有界时，一维 BSDE 的存在性，比较定理和稳定性。她也在稍强的条件下讨论了解的唯一性，主要 方法是通过一个变量的指数变换对原方程做个变换。 Lepeltier 和 San Martin10（1998）推广了 Kobylanski 的结论得到下面的情形： ()( ) 2 , , ,f ty zk yC z+， (0.3) k是一个严格正的函数满足： ( )( ) 0 0 dxdx k xk x = = 。 然而，研究的重点仍然是解的存在性而不是唯一性。 El-Karoui和Hamadene11（2003）在解一个风险敏感的控制问题和一个0-和的
16、赌博问题时得到了类似的存在和比较定理。他们同时证明了非0-和的风险敏感赌博 和相关的多维BSDE之间的联系。 在许多情况下， 终端条件依赖于另一个变量X，()Tg X=，X是一个正向SDE 的解： ()(), tttt S dXb t X dtt X dWstT Xx =+ = 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 这样的BSDE称之为与正向SDE耦合的BSDE，这类方程与拟线性偏微分方程 的联系由Pardoux和Peng（1992）通过推广PDE的Feynman-Kac表示式得出： 定理（Pardoux和Peng，1992） ：考虑下面抛物线型的PDE： ()(
