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1、第一讲 复变函数与解析函数 关于复数的几个概念复习： 1） 复数序列 nz 2) 聚点 : 给定序列 nz， 复数 ，z0 ，恒有无穷多个 满足nz，使 n ，都有nz M0 ， ( ) 0N ，使对于任意正整数 ，有p=+，且 发散，则0nnv=0nnu=发散。 2 Absolute Ratio Test 比值判别法 如果只要 大于某固定正整数 ，级数 的相邻项的模之比n r()1nnuz=11nnuu+，级数 发散。以上两点构成了所谓的 达朗贝尔判别法 。 0nnu=6当 1lim 1nnnuu+=时， 的绝对收敛性质需要进一步检验, 可用高斯判别法： 若0nnu=(11nnuOnun)+
2、=+ +， 其中 1 ， 为常数，则 Re 1 ， 绝对收敛；Renu1 ，nu发散。 3 绝对收敛级数的性质 若0nnu=收敛。则级数 绝对收敛。这时 0nnu= ()( ) ( )012 01 234 56uuu uu uuu uu+= + + + + + +nullnull （组合） （换序） 0123 01243uuuu uuuuu+=+nullnull 2200 0nnnn nuu u 1n+= =+（拆成子级数） 00 , 0 0kl kl n n knkl kl n kuv uv w w uv k= = = （先将 k 相同的项组成一项，然后按 nkl+ l= + 的大小排列）。
3、Example： 0!nznzen=， 0!nanaen= =用比值判别法： 1(1)!01!nnnaana nn+=+ae 的级数绝对收敛， 的级数也绝对收敛，则 be()()()00 00000! !1! !kl knknabkl nknknknknabnab abeekl knknabnknkaben = =+=+= 二项式定理!72 函数级数 ，这里各项均为复变函数。 () () () ()121kkuz uz uz uz=+nullknull2.1 收敛 convergence： if 是某区域 内的一个单值解析函数，级数 在区域 G 中每一点都收敛，则级数在 内收敛，其和函数()k
4、uz G()0kuzkG ( )Sz是 G内的一个单值函数。 2.2 一致收敛 uniform Convergence： 对于 0， 与 无关的 z ( )N ，使当( )nN时, () ()0nkkSz u z =并且： ， if () ( )10cos Res nkkfx mxdx i Fb=( ) f zis an even function； () ( )10sin Resnkkf xmxdx Fb=, if ( ) f zis an odd function. 2.4 实轴上有一阶极点的无穷积分 参考书： 121) 吴崇试，数学物理方法，北京大学版（第二版） ， 7.1 7.6 2)
5、 胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法，高教版， 5.1 -5.6 3) 姚端正，梁家宝， 数学物理方法，武汉大学版， 5.1 5.4 4) 汪德新，华中科大版（第二版） ， 4.1 -4.4 5) James Ward Brown & Ruel V. Churchill, Complex Variables and applications (Seventh Edition), 机械工业出版社， pp 221 - 298 第五讲 Gamma Function Laplace Transform 常微分方程的幂级数解法 1 解析延拓 If ()1f z in is analytic, 1G( )2f
6、z in is analytic, 在重叠区域 中（区域和区域 的交集 ），2G12G1G2G1GG2( ) ( )12f zfz= ， Then ( )2f z is ( )1f z 在 中的解析延拓；2G()1f z is ( )2f z 在 中的解析延拓。 1G2 Gamma Function 2.1 definition The above integral for ( )zis called the Eulerian integral of the second kind： () ( )10Re 0ztztedt zx= =1zt这个因子通常是多值的，通常规定 arg 0t = ，
7、Re 0zx= 为积分收敛条件。 2.2 几个重要性质 ( )11 = ( ) ( )1 zzz+= () ()1! nnn+= 为正整数 12= ( )21!122nn +=, “！”间阶乘 Stirlings Asymptotic formula z很大时 的近似式 : ()z13()122311 13921 , , arg 12 288 51840zzzze z zzz z+null当时 ()arg arg 1 0tt= =规定多值函数。 另一种表达式： ()2 21 210,2sin cospqpq d = 函数表示( ),pq函数：()( ) ( )(),pqpqpq=+， 利用此式
8、子把 Beta Function 延拓到 和 的全平面，而不受的 限制。另外，p qRe 0, Re 0pq)(,p q对于和 是对称的。 pq4 The Laplace Transforms 4.1 Definition Laplace Integral () ()0ptFp e ftdt=14引用简单符号：() ( ) Fp ft=or ( ) ( )Fp ft=nullnull。 Conditions for the existence of a Laplace Transform of ( )f t： 1) ( )f t is piecewise continuous on 0 t 可
9、明，当 p ，且(arg 02p )时， ( )lim 0pFp=。 4.2 拉普拉斯换式的解析性质 拉氏换式 是 平面上一定区域内的解析函数。 ()Fpp具体拉氏变换式如： ()() ()()()222211 , Re 01, Re Resin , Re 0cos , Re 0tppeppwwt ppwpwt ppw= = = += +nullnullnullnullnullnullnullnull常常可以从 平面上一定区域（半平面） ，开拓到全平面上，除了某些奇点外。 ()Fpp4.3 Rules 运算性质 原函数求导的换式 设 ( )f t 及其导数( )f t 都满足 4.1 中拉氏变
10、换式存在条件，且( )f t的拉氏换式是 ，则 ()Fp() ( ) ( )0ft pFp f =。 当问题中出现的各阶导数( ) ( ),ft ftnull( )( )nf t 都满足同样的拉氏换式存在条件，则只要 Re ， pSo( )() ( ) 1,2,kf tk= null n的拉氏换式 ()() () ()()()1100kkkkft pFppf f=null 。 15 原函数积分换式 设 ( )f t 满足拉氏换式的存在条件，则() ()0tg tft=dt的拉氏换式也存在。令为()Fp()f t的像函数， 为()Gp( )g t的像函数，有变换公式 () ()( )0tF pg
11、t f tdtp=nullnull。 4.4 Inverse Laplace Transform 如果限定原函数为连续函数，则反演具有唯一性。 像函数的导数 是()Fp()f t的换式，则 ( )F p 在区域( )1Re0p SS中解析，其 阶导数的反演公式为 n()() () ()nn nF pt= nullnullft。 像函数的积分 积分路线在( )0Re qS 中， 是0S( )f t的收敛横标，设此积分收敛，而且当 时 0t ()f tt有界，则有反演公式()()pf tFqdqt=nullnull。 卷积定理 设 () ()11F pft=nullnull(， ) ( )22F
12、p f t=nullnull， ( )1f t 和( )2f t 的卷积是指1f 和2f的各自像函数乘积，有 () () ( ) ()12 1 20tFpFp ft f d = nullnull。 普遍反演公式 若()f t满足前述拉氏变换存在条件， 则() ()1, 02SiptSif tFpedpi+t= ， 其中 是大于 的任意正数。积分路线：一条平行于 P-plane 的虚轴的一条直线。像函数 S0S( )Fp在这条直线的右半平面没有奇点。 6 二阶线性常微分方程的幂级数解法 166.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 二阶线性齐次常微分方程的标准形式 () ()220dw dwpz
13、qzwdz dz+ +=，方程系数() (),p zqz系数决定了方程的解；而且，解的解析性质完全由方程系数的解析性决定。 方程的常点0z： ()p z 和( )qz在0z点解析； 方程的奇点 ： 0z()p z和( )qz中至少有一个在 点不解析，特别若 是的一阶极点，0z0z()pz ( )qz的二阶极点，则 为方程的正则奇点 ；不是正则奇点就是非正则奇点。 0z6.2 常点邻域的级数解 若 和()pz ( )qz在 点的邻域中单值解析，在常点 的邻域0z0z0zz R内，方程 () () () ( ) ( ) 0w z pzw z qzwz +=1有唯一满足初始条件 （其中 和 为任意常
14、数）的幂级数解 。 ()00, wz C=()0wz C =0C1C() ( )00kkkwz C z z=6.3 正则解和正则奇点 在方程的奇点上，方程解的性质一般是奇异的，可以考虑罗朗展开。 定理 1. 如果 是方程0z0wpwqw+ +=的奇点，则在 和()pz( )qz都解析的环状区域00 zz R 内，这个方程存在两个线性无关的解 () ( ) ( )() ( ) ( )121020kkkkkkwz z z c z zwz zz dzz= = 00)0or ()()()() (221 00lnkkkwz gwz zz zz dzz=+ 若1或2不是整数，或者 ，方程就有多值函数解， 是其枝点。 0g 0z在一定条件下，定理一中的级数只 有有限个负幂项，这时通过调整值，使得级数中没有负幂项，这时对应所谓正则解 的情况，求解可以得到一组递推关系 (r
