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1、电磁波在波导中的传播,第十章,10.1 矩形金属波导中的电磁波 10.2 圆柱形金属波导中的电磁波 10.3 圆柱形介质波导阶跃型光纤,10.1 矩形金属波导中的电磁波,上一章采用路分析方法把电磁波的传播问题化为电路问题来处理，描述传输线上的电压和电流波；这种方法适用于双导体传输线。,电磁波传播采用哪种传输线与电磁波的频率紧密相关。在低频段，采用双线传输线；在高频段，为了避免辐射而采用同轴线。在微波波段，为了避免同轴线内的焦耳损耗和介质的热损耗因而采用波导传输。光波则采用薄膜或圆形介质波导传输。,本章采用场分析方法，讨论电磁波在矩形波导、圆波导以及光波在介质波导阶跃型光纤中的传播特性。电磁波在
2、不同波导中传播的理论基础是求解满足边界条件的矢量赫姆霍兹方程。,一、 矩形波导横平面内场分量之间的关系,时谐电磁波在波导内传播满足麦克斯韦方程,图10-1 矩形金属波导,假定电磁波沿+Z方向传播，其传播因子为 ，则电磁波在直角坐标系下具有的解形式为,在直角坐标系中将麦克斯韦方程展开成分量形式,联立求解方程组得到,式中,称之为截止波数,这样处理使矩形波导的求解过程得以简化，这种用电磁场的纵向场分量来表示其横向场分量的分析方法称之为纵向场法。这样做的目的是找到纵向分量与横向分量之间的关系。,结果表明，沿+Z方向传播的电磁波，如果知道 和 , 那么， 、 、 和 就可由上式得到。,二、矩形波导横平面
3、内纵向场分量的解,波导内无源空间时谐电磁场满足矢量赫姆霍兹方程,式中,其定态解为,代入赫姆霍兹方程可得到,传播因子,在直角坐标系下， 和 的分量形式为,写成赫姆霍兹方程分量形式为,和,仅需要求解波导横平面内的纵向电场分量 和纵向磁场分量 ，即求解方程,下面分别求解上述方程,1求解,采用直角坐标系下的分离变量法。设,代入后可得,令,则有,而波数,通解为,式中 、 、 和 为待定复常数，由电场边界条件确定。由此可得,理想导体表面电场切向边界条件为,该式表明，波导内介质与波导壁的交界面上电场仅有法向分量，电力线垂直于导体表面,根据矩形波导边界特点，可写出,由此得到,同理,此即金属波导电场所满足的边界
4、条件，代入上式，,有,代入后可得,式中常数 为电场的复振幅，由激励条件确定，与场分量间的关系和场分布无关。,2求解,与上述求解方法相同，可得方程 的解为,式中 、 、 和 为待定复常数，由边界条件确定。,理想导体表面磁通密度矢量法向边界条件为,该式表明，磁场矢量的法向为零，波导表面磁场矢量仅有切向分量，即磁力线切于波导壁。,磁场法向边界条件为,对于TE波，有,将磁场边界条件代入后，得到,由此得到,同理,可得,这就是波导内横平面内纵向场分量的解。,三、矩形波导中电磁波传播的模式,波导中电磁场能够单独存在的形式称之为电磁场的传输模式。平面电磁波在无界空间中传播，电场矢量E和磁场矢量H在垂直于传播方
5、向的横平面内，称之为横电磁波，也称TEM波或TEM模。但由式（10-37）和式（10-51）知，波导内电磁波在垂直于传播方向的横平面内具有纵向分量，即,所以波导内电磁波传播的模式与电磁波在无界空间传播的模式不同。,如果波导内在垂直于传播方向的横平面内，纵向分量,则称波导内电磁场存在的形式为横电波，简称TE波或TE模,如果,则称为横磁波，简称TM波或TM模,TE波和TM波还与m、n的取值有关，因此还可分为TEmn波和TMmn波。实际上，在波导中电磁波存在的形式是TEmn波和TMmn波的叠加。下面就TE波和TM波进行讨论,四、TE波和TM波,1TE波 将 和 代入场的横向分量与纵向分量的关系式，并
6、代入场的定态解，得到TE波的分量形式为,将 和 代入场的横向分量与纵向分量的关系式，并代入场的定态解，得到TM波的分量形式为,2TM波,式中,给定波导尺寸a和b，就能得到矩形波导内电磁场问题的解，也即矩形波导内电磁波可存在的模式。,五、矩形波导的传输特性,1波导的传输条件,TE波和TM波横向波数kx和ky是相同的。因此，kx和ky代入可得矩形波导中TEmn和TMmn模的截止波数为,该式表明截止波数与矩形波导的尺寸a和b以及离散值m和n有关,相位常数为,式中 为无界均匀介质中的波数,上式表明： 当kkc时，kz为实数，则传播因子代表沿Z方向传播的行波； 故此称kc为截止波数，并以kc作为波能否在
7、波导中传播的判断依据。,通常判断依据以截止波长c或截止频率fc表示,截止波长为,则截止频率为,式中 为波在无界均匀介质中的传播速度,波导的传输条件用截止波数、截止波长和截止频率可分别表述为,根据上式可知，如果被传输的电磁波的工作频率高于波导内相应模式的截止频率；或者，如果被传输的电磁波的工作波长小于截止波长，则波导内可传输TEmn波或TMmn波，所以波导具有高通滤波的特性。,2矩形波导中存在的传输模式,由前面讨论可知，m、n的取值为正整数，因而kx和ky的取值是离散的，不同的m、n取值和组合对应于不同的波形或模式TEmn和TMmn。,由式（10-55）知，当m=n=0时，电磁波的工作频率不管取
8、何值，除Hz分量外，电磁场其它分量为零，由坡印廷矢量得知，波导中不存在能量流动，因而矩形波导内不存在TE00波,将m=0和n=0代入式（10-56）可知，矩形波导内不存在TM00、TMmo和TM0n波,因此，矩形波导内能够存在的模式为TE0n、TEm0和TMmn（m0，n0）,对于相同的 m 和 n，TEmn 波和 TMmn 波具有相同的截止波数，因而，满足传输条件的 TEmn 波和TMmn 波可以同时在波导中存在，这种同时存在的波称之为简并模。,例 9.1 一直矩形波导的截面尺寸为ab=2310mm2, 试求当工作波长=10mm时，波导中能传输哪些模式？当=30mm呢？,解 传输条件为,1当
9、=10mm时，有,满足条件的m和n取值为:,m=0时, n2.00, 由于波导内不存在TM00、TMmo和TM0n波，所以仅可传输TE01模。 m=1时, n1.95, 能传输的模式为TE11、TM11和TE10。,m=2时，n1.80，能传输的模式为TE21、TM21和TE20。 m=3时，n1.50，能传输的模式为TE30、TE31和TM31。 m=4时，n0.95，所以能传输的模式为TE40。 m=5时，n无解，不存在传输模式。 由此说明当=10mm时，波导内存在11种模式的波形。,2当=30mm时，有,满足条件的m和n取值为,m=0时，n0.67，波导内无传导模式存在。 m=1时，n0
10、.50，能传输的模式为TE10。 m=2时，n无解，不存在传输模式。 由此说明当=30mm时，波导内是单模传输。,3相速度和波导波长,相速度是波导内对应于某一频率的导行波的等相位面传播速度，可令行波的相位因子等于常数，即,两边求导, 得,式中为无界均匀介质中的电磁波速度，对应于电磁波在介质中的波长 。,如果波导内无填充介质，则,可见波导中,波导波长也称相波长，是指某一频率的导行波其等相位面在一个周期内沿Z方向移动的距离，即,4群速度,群速度是指由许多具有相近频率和相位常数kz构成的合成波在传输过程中的速度。下面以简单的调幅波为例给予说明,设有两个频率相近、相位常数相近的波沿Z向传播，其电场表达
11、式为,两列波合成的结果为,式 中表示合成波的包络,合成波的传,播速度就是包络的移动速度。,由,得到群速度为,如果波导中填充介质为空气， ，则,该式表明：当不考虑波导内介质的色散时，波导内传输模的群速度必小于光速c。,可见，电磁波的频率不同，即波长不同，其相速度和群速度就不同，这种特性称之为波的色散。由此可见，波导传输TEmn波或TMmn波均为色散波。由于色散的存在，波导传输信号会产生信号失真。而TEM波的相速度和群速度相等，且与频率无关，因此，TEM波为非色散波。,5波阻抗,在波导中传输模式的横向电场与横向磁场之比定义为导行波的波阻抗。,TE波的波阻抗为,TM波的波阻抗为,式中为TEM波在无界
12、均匀介质中的波阻抗,六、矩形波导中的TE10模,波导中截止波长最长的导行波称之为该波导的主模，矩形波导的主模为TE10模，也称H10模。TE10模的优点是场结构简单、稳定、频带宽及损耗小，并且可以实现单模传输。,1TE10模的场分布,取m=1、n=0代入式（10-55）和式（10-57），得到,相应的瞬时表达式为,由此可见，TE10模的场分量仅有三个Ey、Hx和Hz，并且三个分量均与y无关，说明在Y方向场均匀分布。,根据上述方程可画出电场线和磁感线：,图10-2 TE10模电场分布,图10-3 TE10模磁场分布,图10-4 TE10模的电磁场力线立体示意图,2TE10模在矩形波导壁面产生的电
13、流分布,电磁场在金属波导内传播会在波导内金属壁面产生感应电流。在微波波段，由于频率很高，导体的趋肤深度很小，这种壁面电流将在金属导体表面的薄层内流动。,壁面电流可根据磁场切向分量的边界条件确定，由于金属导体内磁场为零 ,有,3TE10模的传输特性,（1）截止波数与截止波长,（2）相速度与波导波长,（3）群速度和波阻抗,七、矩形波导的传输功率及尺寸选择,1波导的传输功率,无限长理想导体矩形波导所传输的功率等于平均坡印廷矢量Sav在波导横截面内的积分，有,下面以TE10模为例，求与该模相对应的传输功率,则,式中E10为TE10模x=a/2处电场的最大振幅。由此可见，矩形波导的传输功率P与工作波长、
14、矩形波导横截面面积ab及电场振幅E10有关。,受介质击穿强度的限制，在波导中传输的功率也将受到限制。波导所能传输的最大功率称为极限功率或称为波导的功率容量。功率容量与波导的尺寸、波型、工作波长以及波导中填充介质的击穿强度等因素有关。计算功率容量，首先求出传输功率与电场强度幅值的关系式，然后由介质的击穿强度确定相应的功率，即为功率容量。,假如矩形波导内填充介质的击穿强度为Ec，对于TE10模，可以计算波导的功率容量为,2波导尺寸选择,矩形波导的尺寸选择需要根据实际应用中具体的技术要求来确定。在给定的频带内，一般的选择标准是：传输单模；有足够的功率容量；损耗小；尺寸尽可能小。,为了保证单模传输，要
15、求,考虑到功率容量问题，要求,要求传输损耗小，应使,综合考虑以上因素，矩形波导尺寸一般选择为,10.2 圆柱形金属波导中的电磁波,一、圆波导横平面内场分量 之间的关系,圆柱形波导问题的求解与矩形波导完全相同。,时谐电磁波在圆波导内传播满足麦克斯韦方程,假定电磁波沿+Z方向传播，其传播因子为 , 则电磁波在柱坐标系下具有的解形式为,把式（10-107）在柱坐标系下展开成分量形式，有,将式（10-108）代入式（10-109）和式（10-110），得到分量形式为：,和,联立求解方程组，得到,式中,称之为截止波数。显然，沿+Z方向传播的电磁波，在其垂直于传播方向的横平面内，场分量 、 、 和 仅仅与 、 有关。,二、圆波导横平面内纵向场分量的解,波导内无源空间时谐电磁场满足矢量赫姆霍兹方程为,对于时谐电磁场，沿+Z方向传播的电磁波具有定态形式的解。将电场和磁场的定态解的分量形式,代入赫姆霍兹方程式，得到柱坐标系下分量形式的方程为,和,显然，电场分量方程（10-118）和磁场分量方程（10-119）具有相同的形式，所以仅需要求解波导横平面内的纵向电场分量和纵向磁场分量，然后利用纵向场分量与横向场分量的关系式（10-113），即可求得横向场分量的解。,1求解,采用圆柱坐标系下的分离变量法。设,代入式（10-118）的纵向场方程，有,令,得到,第一方程和周期边界条件构成本征值问
