探索性问题剖析

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1、第九章 探索型与开放型问题 第40课 探索性问题,基础知识 自主学习,要点梳理,1条件探索型问题给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，需要采用证明、推断去探索发现并补充完善，使结论成立它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因,2结论探索型问题给定明确条件但未明确结论或结论不唯一，要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，然后对猜想的结论，进行证明这类题主要考查解题者的发散思维和所学基本知识的应用能力,3存在性探索型问题，指在一定条件下需探索发现某种数学关系是否存在的问题解题时一般是先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合

2、已知条件进行推理论证若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论,1请你给x选一个合适的值，使方程 成立，你选择的x_.,基础自测,3,解：解方程 ， 2(x2)x1，2x4x1，x3， 经检验，x3是方程的根， x3,解：解不等式组，得xm2， 而由已知x1，得m2 1， m3,2关于x的不等式组 的解集是x1， 则m_.,3,3若正比例函数的图象经过点(1,2)，则这个图象必经过点 ( ) A(1,2) B(1，2) C(2，1) D(1，2),D,解：设ykx的图象过点(1,2)， 则2k，k2，y2x， 又当x1时，y212，选D,4已知点P1(4,

3、3)和P2(4，3)，则P1和P2 ( ) A关于原点对称 B关于y轴对称 C关于x轴对称 D不存在对称关系 5如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 ( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等边三角形,C,A,题型分类 深度剖析,题型一 规律探索型问题,例1：如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1,0)，将线 段OP0按逆时针方向旋转45， 再将其长度伸长为OP0的2倍， 得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45，长度伸 长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3OP4， ，OPn.(n为正整数),(1)求点P6的坐标；

4、(2)求P5OP6的面积； (3)我们规定：把点Pn(xn，yn)(n0，1,2,3，)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|，|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来,解：(1)P6(0，64) (2)SP5OP6 6416 512 . (3)点Pn的坐标可分三类情况 当n8k或n8k4时(其中k为自然数)，点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为(2n,0) 当n8k1或8k3或8k5或8k7时(其中k为自然数)，点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为( 2n， 2n)，即(2n1 ，2n1 )

5、 当n8k2或8k6时(其中k为自然数)，点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对值为(0,2n),探究提高：本题属于规律探索型问题，数学对象所具备的状态或关系不明确，需对其本质属性进行探索，从而寻求、发现其所服从的某一特定规律或具有的不变性解题方法一般是利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律,知能迁移1：先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题,(用含有n的式子表示),题型二 存在探索型问题,例2：已知：如图，ABC是边长3 cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当

6、点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：,(1)当t为何值时，PBQ是直角三角形？ (2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是ABC面积的 ？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由,解：(1)当BPQ90时， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt cosB BPBQcosB，即3tt 解之，得t2,当BQP90时， 在RtBPQ中，B60，BP3t，BQt cosB BQBPcosB，即t(3t) 解之，得t1 综上，t1或t2时，PBQ是直角三角形 (2)S四边形APQCSABCSPB

7、Q y 33sin60 (3t)tsin60 t2 t,又S四边形APQCSABC t2 ( 33sin60) 整理，t23t30 (3)24130 方程无实根 无论t取何值时，四边形APQC的面积不可能是ABC面积的 .,探究提高：存在探索题是指在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的问题。解题方法一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，引出问题的结论,知能迁移2：如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB ，矩形ABOC

8、绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线yax2bxc过点A，E，D.,(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由,解：(1)点E在y轴上 理由如下：连接AO，如图所示， 在RtABO中，AB1，BO ， tanAOB ， AOB30. 由题意可知：AOE60. BOEAOBAOE306090. 点B在x轴上， 点E在

9、y轴上,(2)过点D作DMx轴于点M， OD1，DOM30， 在RtDOM中， DM ，OM . 点D在第一象限， 点D的坐标为 . 由(1)知EOAO2，点E在y轴的正半轴上 点E的坐标为(0,2)点A的坐标为( ，1) 抛物线yax2bxc经过点E，c2.,由题意，将A( ，1)，D 代入 yax2bx2中得 解得 所求抛物线表达式为：y x2 x2.,(3)存在符合条件的点P，点Q， 理由如下：矩形ABOC的面积ABBO . 以O、B、P、Q为顶点的平行四边形面积为2 . 由题意可知OB为此平行四边形的一边， 又OB ，OB边上的高为2. 依题意设P的坐标为(m,2) 点P在抛物线y x

10、2 x2 上， m2 m22，解得m10，m2 . P1(0, 2)，P2 .,以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， PQOB，PQOB ， 当点P1的坐标为(0,2)时， 点Q的坐标分别为Q1( ，2)，Q2( ，2)； 当点P2的坐标为 时， 点Q的坐标分别为Q3 ，Q4 .,题型三 结论探索型问题,例3：(本题14分) 已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点. (1)如图，如果AP2PB，PBBO， 求证：CAOBCO；,(2)如果APm(m是常数，且m1)，BP1，OP是OA，OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求ACB

11、C的值(结果用含m的式子表示)； (3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以BA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围,解题示范规范步骤，该得的分一分不丢！ 解：(1)证明： AP2PBPBBOPO， AO2PO. 2. POCO， . COABOC， CAOBCO. 4分,(2)解：设OPx，则OBx1，OAxm， OP是OA，OB的比例中项， x2(x1)(xm)， 得x ，即OP . OB . OP是OA，OB的比例中项，即 ， OPOC， . 6分 设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点 P，点Q不重合时， AOCCOB，CAOBCO. . m. 8分,(3)由

12、(2)得，ACBC，且ACBC(m1)BC(m1)， ACBC(m1)BC，圆B和圆C的圆心距dBC， 显然BC1，12. 14分,探究提高：本题给定条件但无明确结论，或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论,知能迁移3：如图，已知E，F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交DC于P，连结PF并延长交AB于Q.,(1)任意画一个平行四边形，且画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在上图和自己画的图中量得AQ，BQ的长度，估计AQ，BQ间的关系，并填入下表：,(2)由上表可猜测AQ，BQ间的关系是_ (3)上述(1)中的猜测AQ，BQ间的关系成立吗？为什么？,(4)若将平行四边形

13、ABCD改为梯形ABCD(ABCD)，其他条件不变，此时(1)中猜测AQ，BQ间的关系是否成立？(不必说明理由),解：(1) 注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分 （2）猜测：AQ3QB.,(3)成立 四边形ABCD为平行四边形，DCAB， PDFQBF， ， E、F为BD三等分点， 2， 同理 2， 4， 3，即AQ3BQ. (4)成立,题型四 条件探索型问题,例4：已知：如图，在RtACB中，C90，AC4 cm，BC3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0t2)，解答下列问题：,(1)当t为何值时，PQBC ? (2)设AQP的面积为y(cm2)，求y与t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； (4)如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由,解：(1)由题意：BPt cm, AQ2t cm， 则CQ(42t) cm， C90，AC4 cm，BC3