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1、3.6 算符与力学量的关系,一、厄米算符的本征函数的完全性,1.复习3.1的两个假定,但是在任意态 中（非 的本征态），此时 与代表的力学量的 关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。,2. 完全性：,若 是满足一定条件 的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系 、 对应的本征值为 、 ，则任一函数 可以按 展为级数：,式中 是与x无关的展开系数。我们称本征函数 的这种性质为完全性，或者说 组成完全系。,（1）,说明：,以 左乘 ，且对x的整个区域积分有,表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即
2、假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。,3. 展开系数 的物理含义：,设 为归一化的波函数，则根据 是正交归一化的完全函数系，有：,因左边是总几率，所以 有几率的意义。,即：,3.1的假定2,例：若 是算符 的一个本征态，例如,由此特例同样可以看出 具有几率的意义，即 表示了在 态中测量力学量 得到的结果是 的本征值 的几率，于是称 为几率振幅。,则：,二、基本假设（力学量与算符的关系）,假设3：在 （ 是 的本征函数）描写的态中，测量体系的力学量 得到 的几率是 ，其中 。,综合假设1-3，可得一个基本假定（基本原理），即量子力学中关于力学量与算符关系的基本假设：,基本假设的正确性同薛定谔方程一样，由整个理论与实验结果符合而得到验证。,完全性关系,解释：,即：,(同理可得二、三维的结果),三、平均值公式,在 所描写的状态中， 在 态的统计平均值（由几率求平均值）为,证明：,说明：a.当 的本征值构成连续谱时， 为：（假定 已归一）,证明：,b. 以上证明中假定 已正交归一化，对没有正交归一化的波函数：,四、推广,若 的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，则以上结果可表示为：,为在 态中测 得 的几率；,为在 态中测 得 在范围内的几率；,说明：当 时为连续谱情况； 时为分立谱的情况； ， 时为一般情况。,
