ch1-1 引言电荷和电场 20140909

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1、引言 电磁场是物质世界的重要组成部分之一。 经典电动力学是依靠 Franklin(富兰克林 )、 Coulomb（库仑） 、 Ampere(安培 )、Farady(法拉第 )、 Maxwell(麦克斯韦 )、 Einstein(爱因斯坦 )、Lorentz(洛仑兹 )等建立的， 前后历经 100 年时间 。 经典电动力学 主要内容包括 电磁场的基本属性 、 电磁场的运动规律 ，以及 电磁场与带电物质之间的相互作用。 经典电动力学理论存在 局限性 ，不满足相对性原理， 1905 年 爱因斯坦提出了 基于新时空观的、适用与任何惯性参照系的理论 狭义相对论 。 电磁现象 和电磁力理论的完整性成为物理

2、学家的对物理学研究所追求的一种范式，甚至成为对其它力研究所追求的一种理想的模型 。 本章是采用 从静电场、静磁场的基本规律出发，然后做其中的部分定律做推广，并借助相关的假设，给出随时间变化的电磁场运动规律的完整定律，这些理论的准确性都是通过后来大量的实验得到检验与证明。 第一章 电磁现象的普遍规律 1 电荷和电场 在本节是 从关于静止电荷之间的库仑相互作用力出发，给出静止的电荷所激发的静电场的场强表达式，然后分析静电场的 散度和旋度性质 ，包括其积分和微分的形式。最后，我们对静电场 1. 库 仑定律 真空中静止 （相对于观察者） 的点电荷 Q2 对另一静止点电荷 Q1 的作用力 F12 为：

3、F1 2 = Q 1Q 24 p e0 r1 23 r1 2 式中， Q1 、 Q2 为电荷的电量，单位为库仑；矢径 r12 为从 Q2 指向 Q1 的矢径； F12 的方向与 r12 的方向之间的关系取决于 Q1Q2的符号。 )mN/(C1085.8 22120 为真空的介电常数（电容率） 。 库仑定律是从实验事实总结出来的数学表达式，其主要的特征是：满足牛顿第三定律，是向心力，具有 与 距离平方反比的依赖关系 。 库仑力遵 守平方反比定律意义重大，它是 静电场高斯定理的基础 。如果偏离平方反比定律的后果：光子的静质量不为零；规范不变性不再成立；电荷守恒定律将被破坏；静电平衡时导体上的电荷不

4、再全部分布在导体的表面； 电磁波在真空中传播时会发生色散 等等 。 近代物理实验证实 F 1 r 2 +a ， 1510 。 参见 E. R. Williams et al., Phys. Rev. Lett. 26 (1971) 721. 2.电场 1)点电荷 电场 及其强度 从库仑定律我们可以看出， q 受到的力正比于其电量。为此我们定义一个新的物理量： E = Fq = Q4 p e0 r3 r 这个量（矢量）与 q 无关，但 与 q 所处 （与 Q相对） 位置 、 以及与 Q的数值 有关 ，因此它描述了电荷 Q在 r 处产生的某 种效应，称之为电场。 库仑定律只提出现象 的数学定量描述

5、 ，并未给出现象的物理本质。 我们如果 从“场”的观点来认识库仑定律 ，就是 在电荷 周围空间客观存在一种物质 电场； 处于电场中的电荷会受到电场 力 的作用 。 其次，电场力是通过有限的速度（光速）传递的。在静电场中 ， 由于电荷的电量是不随时间变化的， 容易让我们误认为这里的力是一种超距作用 。 在后面的章节中当我们讨论随时间变化的电磁场时，我们就能够更清楚的认识到 电场 和其它的物质一样具有有限传播速度 ，并且具有动量、能量、角动量 等 。 2) 电场的叠加原理 ： 电场强度服从线性 叠加原理。 若空间存在 多个点电荷 ，则空间某一点 P 处 的 电场强度为： E = E ii = Q

6、i4 p e0 ri3 rii 对于 电荷体块分布情况： E = r4 p e0 r3V r ( x ) d V 公式中， x 为电量元 r (x )dV 的位置矢量（位矢）， r(x)为该处的电荷体密度， dV 为体积元；场点 P 位矢为 x ， r 为从电量元指向场点 P 的相对矢量。 以后我们约定，带撇的变量是表示与（电荷 或电流 等）源点的物理量，而不带撇的变量则用来表示场点的相关物理量。 对于 电荷面分布 或者线分布的 情况： d4 )( 30SrrxE S d4 )( 30lrrxE l 式中的 s(x) 、 l(x) 分别表示源点 x 处的电荷面密度和线密度。 3. 高斯定理和电

7、场的散度 1）电通量 我们首先来 考察电荷与其周围的电场的关系 。 如下图：考虑一个点电荷 Q 位于闭合曲面 S 内 ， 点电荷产生的电场 E = r4 p e0 r3 定义 电场通过面元 dS 的电通量为 d F = E d S = E d S c o s q = Q4 p e0 r2 c o s q d S式中 dS 为面元矢量，大小等于面元的面积，方向与面相垂直；对于一个闭合的曲面而言，面元的方向以指向闭合面外为正方向。 位于闭合面内的点电荷产生的 电场对 整个 闭合曲面 S 的电通量 F = dF = Q4 p e0c o s q d Sr 2 =Q4 p e 0 d W =Qe 0

8、E d SS = Qe0推论：这里给出一个重要推论，对于位于坐标原点的单位点电荷， r4 p e 0 r 3 d SS =1e 0 或者 rr 3 d SS = 4 p 亦可 证明：如果 点 电荷处于闭合曲面 S 外，则电场对 该闭合曲面的电通量为零。 2） 高斯定理的积分形式 更一般的 推广 ：由 空间中多个电荷激发的电场对于 一闭合曲面的电通量为 iiQSE01d 注意： 式中 的电场是所有电荷的贡献；在计算电场对闭合面的通量时 只 需 处于 S 内的 iQ 求和；该电通量与处于 S 外的电荷无关。 在电荷连续分布 的情况下，高斯定理的形式为 V VSE d1d0 此处的积分区间限于为闭合

9、曲面 S 所包围的带电区域。这是高斯定理的积分形式 。 3） 高斯定理的微分形式 根据 矢量运算中 我们学习到的知识 ， E d S = E d VV 比较上面的两式得到 E - 1e0r d VV = 0 此式对任意闭合曲面所包围的体积均成立， 因此有 E x( ) = 1e0r x( ) 此为高斯定理的微分形式。高斯定理的微分形式指出 了： a) 空间某点的近邻区域 电场的散度只与该点处的电荷密度有关，与其它地方的电荷分布无关。 b) 在 E = 0 的地方只说明此处无电荷（电场 线 连续 ） ， 但并 不 意味着此次 0E ； c) 如果 E 0 ，说明 电场分布在此位置出现了奇异（如电

10、场线汇聚或者发散）， 此处 存在 电荷 分布。 d) 由 高斯定理的微分形式 ， 可 证明一个我们经常会用到的 数学 公式： 2 1r = - 4 p d (r ) . 等式的右边中 d(r) 是一个特殊的函数， 具有如下的性质： d (r ) = 0 r 0( )d (r ) d VV= 1 因此，从物理上看，这个函数描述的是一个位于坐标原点的单位点电荷的电荷密度 函数 ：体积无穷小，而密度无穷大，电荷总量等于 1。 首先，易验证 ： 2 1r = 1r = - rr 3 = 0 r 0( ) 其次，前面已经证明 rr 3 d SS = 4 p，而 rr 3 d SS = - 1r d SS

11、 = - 1r d VV = - 2 1r d VV 因此， 2 1r d VV = - 4 p 总结一下： 2 1r = - 4 p d (r ) . 这是一个非常有用的数学公式，一般性的数学证明比较复杂，这里我们借助高斯定理推导出，过程比较简单。 5）高斯定理 ：电动力学的基本方程之一 高斯定理虽然是由仅 适用于静电场的库仑定律和电场的叠加原理导出的，但实验证明 高斯定理在普遍的情况也成立 ，是 电动力学的基本方程之一 ： E x , t( ) = 1e0r x , t( ) 3. 静电场的旋度 旋度反映的是矢量场的环流性质。 E x( ) = 14 p e0rr 3 r ( x )V d

12、 V 。 由于： 31rrr ， 因此有 d1)(4 1 0VrxxE V 注意： 只对观测点位置 x 作 微商，则有 E x( ) = - 14 p e 0 r ( x ) 1rV d V = - j x( )式中： j x( ) = 14 p e0r ( x )rV d V 称为标量势。 由于对于任意的标量场都满足 j x( ) 0 ，因此有 E x( ) 0 基于静电场的 高斯定理 ， 得出如下的结论： a) 静电场是有源、无旋场； b) 由于这一特点，后面我们将会看到静电场沿着某一路径的线积分只与起、止点的位置的某种物理量有关，与具体的路径无关 ，所以静电场又称为保守场； c) 这里得

13、出的无旋性 或者保守场特征的根源都是由于库仑定律中的距离平方反比以来关系； d) 在 随时间 瞬 变 的 一般 情 况 下 ， 电 场 是 有 旋 场 ，即 E x,t( ) 0。 例题 1： 纯 电偶极子电场中任意一点的电势 及电场 。 电偶极子是等量异号（ +q,-q ）、靠的很近的两个点电荷组成的带电体系。类 似点电荷模型， 理想偶极子模型 也是我们常用的物理模型之一 ， 对于纯偶极子，有 q ，而间距 0 ，而 q 保持固定的值； 是 根据电势的叠加原理，远场处的电势 rq041 ， rq041 利用近似公式： c o s2 rr ， c o s2 rr ， 得到 3020202200

14、41c o s41c o s412c o sc o s4114rrprprqrqrrq结论： a) 与点电荷的电势（ j r-1 ）相比，电偶极子随着距离的增加衰减更快（ j r-2 ）； b) 根据上述电势的表达式，可以给出纯偶极子的电场的表达式 ： E = j = 14 p e03 p e r( ) e r - pr 3可以看出，比起一个点电荷的电场，纯电偶极子的电场随着距离的增加也是衰减的更快 E r-3 。 下图是纯电偶极子的电场 线分布： 对于实际中的 物理电 偶极子，其电量和间距都是有限值 。后面 在电多极矩展开讨论部分 我们会看到， 一个物理电偶极子 远场处的电势除了上面的 r-2 的依赖项以外，还有更高阶的修正项。 下图是物理电偶极子的电场线分布图。 本次作业 题 :郭硕鸿电动力学（第三版） P34 页，习题 1、4。