灰色系统分析方法讲义

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1、灰色系统分析方法,一、灰色关联度分析 二、灰色GM（1,1）模型 三、灰色GM（2，1）模型 四、灰色GM（1，N）模型,主要内容,一、灰色关联度分析,关联度是对两个系统或两个因素之间关联性大小的度量。灰色关联度分析法是建立在灰色系统理论基础上的一种对系统发展变化态势的定量描述。它根据评价因素间发展态势的相似和相异程度来确定评价因素的关联程度。 关联度分析的核心是计算关联系数和关联度。,一、灰色关联度分析,设 为N个因素，反应各因素变化特性的数据列分别为,因素 对 的关联系数定义为,式中， 为第k个时刻比较曲线 与参考曲线 的相对差值，称为 对 在k时刻的关联系数；,一、灰色关联度分析,为两级

2、最小差； 为两级最大差； 为分辨系数，一般在0与1之间选取,一般取0.5。,关系数的个数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有必要将各个时刻的关联数集中为一个值，这个值便是关联度，其表达式为,一、灰色关联度分析,式中， 为曲线 对参考曲线 的关联度。根据关联度 可计算出参评因素的权重,根据关联度的计算可以看出，它的大小主要取决于各时刻的关联系数，而关联系数的值又取决于各时刻xi与x0之差。显然，xi与x0的量纲不同，就会影响关联度ri的计算结果。为消除量纲的影响，就需要在进行关联度计算之前，,一、灰色关联度分析,对各要素的原始数据作初等变换或均值变换等，然后利用变换后所得到的数据作关联度计算。

3、原始数据变换方法如下： （1）均值化变换：先分边求出各个序列的平均值，再用平均值去除对应序列中的各个原始数据，所得到新的数据列即为均质化序列。 （2）初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化数列。,一、灰色关联度分析,（3）标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标准差，得到的数据即为标准化序列。,一、灰色关联度分析,实例分析,一、灰色关联度分析,关联度取灰数的白化值为0.5（ =0.5） 完整的计算步骤是完全根据前面介绍的得来,一、灰色关联度分析,灰色关联分析方法在数据少的情况下完全可以在Excel中实

4、现。但是如果数据量庞大的话，Excel就显得笨拙了。那么，我们就得另辟蹊径：Matlab。据我所知，在座各位同学对Matlab熟练掌握的人很少。下面我给大家介绍一个软件：DPS数据处理系统。DPS是一套通用多功能数据处理、数值计算、统计分析和模型建立软件，与目前流行的同类软件比较，具有较强的统计分析和数学模型模拟分析功能。是目前国内功能最完整的统计软件包。,一、灰色关联度分析,如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作实现。 第一步：将数据输入DPS数据处理系统中； 第二步：在“其他”菜单栏中找到“灰色系统方法”，在其箭头里找到“灰色系统分析” 第三步：在对话框中实现。,一、灰色关联度分

5、析,在数据序列转换方式，一般为均质化。母序列个数一般为0；是否令min为0，如果要精确的话，尽量不要为0；分辨系数（白化值），一般情况设为0.5.,二、灰色GM（1,1）模型,此模型建立的基本过程是：对时间变化的序列无明显趋势时，采用“累加”的方法，建立一个随时间变化趋势明显的时间序列。例如，时间序列（1，3，4，7，5，9）变化趋势不明显，对其元素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列（1，2，8，15，20，29）。按照累加后序列的增长趋势可以简历考虑灰色因子的预测模型进行预测，然后采用“累减” 的方法进行逆运算，回复原时间序列，得到预测结果。,基本原理,二、灰色GM（1,1）模型,模型建立的

6、方法与步骤,（一）方法 设时间序列 X(0) = 其累加生成的序列为 X(1) = 按后者建立微分方程模型为,二、灰色GM（1,1）模型,式中所对应的时间响应函数为 确定a、u,按模型递推，便得到预测的累加序列，进行检验后“累减”便可得到预测值。,二、灰色GM（1,1）模型,二、步骤 （1）由原序列 按照 生成序列 ，以弱化原始数列的随机性和波动性； （2）按 采用最小二乘法按下式确定模型参数 ，其中，,二、灰色GM（1,1）模型,（3）将灰色参数代入时间函数,然后对 求导还原得到,（4）计算 与 之差 及相对误差,二、灰色GM（1,1）模型,式中t=1,2,，N，并规定还原值初始值为0.原始

7、数据的还原值与实际观测值之间的残差值 和相对误差 如下,根据（3）讲述的基础公式，对一次累加成数列的预测值 ，可以求得原始数的还原值,二、灰色GM（1,1）模型,（5）模型检验与预报：为保证模型的可靠性，必须对模型进行检验，方法是对模型进行后验误差检验，即先计算实测数据离差 及残差的离差 在计算方差比 以及小误差概率 。根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断，当p0.95和c0.8和c0.7和c=0.65时，模型不合格。,二、灰色GM（1,1）模型,应用实例 利用上一节的沙漠化数据进行预测,二、灰色GM（1,1）模型,得到上表的结果根据计算得到的预测模型是,模型精确检验值为C=0.2657（

8、好），p=0.9677（好）表明上述模型可以进行预测。,二、灰色GM（1,1）模型,灾变预测,一般地，如果表征系统行为特征的指标通过了某个临界值，则称发生了灾变，所以灾变是相对于所研究问题的表征变量而言的。 设表征系统行为的原始数据列为 规定一个灾变临界值 ， 中那些= 的点数被认为是具有异常值的点（灾变发生点），,二、灰色GM（1,1）模型,把它们按原来的顺序挑出来组成一个新的数据序列（灾变数列）,作灾变映射 ，则灾变预测就是按灾变日期形成的序列 建立GM(1,1)预测模型进行灾变日期预测。,二、灰色GM（1,1）模型,应用实例,如果年降水量小于或等于300mm，就认为发生了旱灾。试用灾变预

9、测法对下一个灾变到来的年份进行预测。,某地区年降水量(mm),二、灰色GM（1,1）模型,从根据题纲结合上表可以得知以下年份发生了旱灾，为方便把年份1971-2000按数字编写为1-30. 1，5，9，12，17，22，25，30,作灾变映射，记为：,其中， 。为映射建立GM(1,1)模型。,二、灰色GM（1,1）模型,X(k+1)=29.521368*e0.23545590*k-28.521368,利用DPS数据分析系统得到预测方程如下：,三、灰色GM（2,1）模型,在灰色GM模型中，对于非负数的数列，累加的次数越多，随机性弱化就越明显，规律性就越强从而也就越容易用指数函数去逼近。灰色系统建

10、模的触及形式GM(1,1)是基于一阶单变量微分方程建立的，其时间响应函数只有一个指数分量，因而它随时间的发展过程是单调的，无法反应摆动情况，一般仅用于预测。而灰色数列GM（2,1）模型为单序列二阶线形动态模型，它改进了这种局限性，不仅可以预测，还可以进行动态分析。（此处不详细介绍，还没有掌握）,四、灰色GM（1,N）模型,GM(h,n)模型中，通常以GM(h,1)模型进行预测，前面讲到的GM(1,1)模型和GM（2,1）模型为单序列现行动态模型，均属这一类型。而当n=2时，模型便不能做预测用，只能分析因子间的相互关系。 GM（1,n）模型是描述多变量的一阶线性动态模型，主要用于系统的动态分析。（此处不做详细讲解：本人还没有掌握，实用性不强）,结束语,1、通过几天对灰色系统分析模型的简单了解，初步发现其功能之强大，让我为之兴奋。但是，由于本人知识在数学方面的的局限性，使得我还没有探求到此模型的更深层次的奥秘。希望在以后的学习中对此分析系统充分加以利用，定会有可观的研究成果出现。 2、初步接触了DPS数据分析系统，其让人的兴奋度难以表达。N多成果将出于此！期待！,