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1、基于ARX模型的磁悬浮的建模与控制方法秦叶梅a、b、c、彭辉a、b、*、阮伟杰a、b、吴军a、b、高家诚a、ba、 中国湖南长沙，中南大学信息工程学院，邮编：410083b、 湖南智能控制工程与先行控制工程研究所，邮编：410083c、 中南林业科技大学涉外学院团委新闻中心，邮编410201文章历史:于2013年03月30日收到初稿于2013年08月17日收到修改稿于2013年10月27日采纳于2013年12月14日在网上发布摘要：磁悬浮(Maglev) 系统通常具有强非线性、开环不稳定和快速响应。为了控制在一个磁悬浮系统中钢球的位置，本文提出了一个数据驱动建模方法和控制策略。一个状态相依的自
2、回归外源性输入（SD-ARX）模型是建立在电磁线圈中的电流和球的位置之间的动态关系上的。在SD-ARX模型中的状态相关的泛函数系数和高斯径向基函数（RBF）神经网络的相似。通过应用结构化非线性参数优化方法（SNPOM）离线辨识模型参数。基于该模型，预测控制器被设计成使磁悬浮球稳定到一个给定的位置或使之沿所希望的轨迹运动。该方法的实时控制的效果与其他已提出的两种方法的相比较表明，本文提出的建模与控制方法对控制快速响应、强非线性和开环不稳定系统有着非常显著地效果。本文给出的真实实验证明， RBF-ARX模型不仅能够控制全局，而且能够进行局部控制以及量化非线性和快速响应系统的运行，同时基于模型的预测
3、控制策略在宽工作范围的非线性系统能有非常不错的工作效果。关键词：磁悬浮系统、RBF-ARX模型、参数优化、预测控制、实时控制1、简介磁悬浮(Maglev)技术以及因为其非接触式，低噪音，低摩擦特性而被广泛地应用到许多工程系统，例如无摩擦轴承和高速磁悬浮列车。为了提高磁悬浮系统中的控制性能，磁悬浮球系统经常就被用来作为一种重要的实验平台。这是一种典型的非线性和开环不稳定的系统，其建模和控制策略吸引了世界各地的极大关注。在最近几年，有许多在文献被提及用于控制磁悬浮系统的作品。这些作品主要集中在基于系统物理模型的控制器设计。为了控制非线性磁悬浮系统，Ahmadi 和 Javaid 1设计一个围绕标称
4、工作间隙线性化模型的线性控制器，同时也有一些学者设计了基于将反馈或前馈线性化的非线性控制器。分段线性化技术6也被用来在磁悬浮系统中每一个（足够小）网格区域中建立分段线性模型，以及每个子模型的计算都依赖于分区的拓扑。有学者7-10直接构建一个非线性模型来描述磁悬浮系统的动态特性。这种方式依赖与该系统中有一个结构或参数精确地物理模型装置。然而，要在实际中获得一个精确的磁悬浮系统物理模型并不是一件容易的事。PID控制器仍然被广泛应用于工业领域，因为它具有结构简单，并易于工程师理解; 然而，需要手动调整PID参数是其在实际应用中的缺点。为了克服这个问题，就为磁悬浮系统设计一个模糊PID复合控制器11,
5、12，在该系统中使用的模糊推理进行自我调节PID参数以获得一个良好的控制结果。但是实施取决于经验知识。Baranowski和Piatek13所用的PID控制器，其观察和前馈技术使参数调整变得容易，并扩宽了一个磁悬浮系统的稳定运行的范围。用于磁悬浮系统控制的广义比例积分（GPI）控制器也被设计成补偿误差的组成部分。它可以保证系统渐近指数稳定地运行，并增强其稳定性2,5。此外，变结构或滑模控制10,14,15、自适应控制3和鲁棒控制16-18也被认为是有效地提高了磁悬浮系统的鲁棒性，而且已成功在磁悬浮系统的实验平台完成应用。图1.磁悬浮小球实验平台在本文中，提出一个基于数据驱动19建模技术的新的磁
6、悬浮系统建模和控制策略，克服了不准确的物理模型的结构和/或系统的参数的影响。为了捕捉并量化非线性磁悬浮动力系统，可以使用外生变量（ARX）状态依赖自回归模型。使用一组RBF网络逼近状态相关的ARX模型的系数用了产生一个RBF-ARX模型20。RBF-ARX模型，结合了RBF网络和ARX模型的优点，是一个全局非线性模型，也是围绕每个工作点的局部线性模型。它可以很好地表征一个非线性系统。这种模式的命令和参数可以由结构化的非线性参数优化方法（SNPOM）20 离线辨识，从而可以提高建模精度和获得更快的收敛速度。同时，可以避免实时控制中在线参数估计失败。基于线性模型的预测控制（MPC）21-24，由于
7、其易于实现而越来越多的应用在工业，同时基于非线性模型预测控制（NMPC）6技术也逐渐在实践中实现。对基于线性化的磁悬浮系统模型的Aconstrained广义模型预测控制进行了研究以保证稳定25,26。王等人 27，为了补偿网络时延将联网反馈线性预测控制加入磁悬浮系统。Ulbig等6，提出了构建在约束有限时间最优控制（CFTOC）问题的近似的解决方案的基础上的一个明确的非线性预测控制规律，用以提高其对磁悬浮系统的实时性能。并且该方法只计算上线的控制规律，大大降低了计算负担。在本文中，基于RBF-ARX模型的预测控制器设计用于控制非线性磁悬浮系统。对基于离线辨识的RBF-ARX模型的NMPC进行了
8、模拟，并成功应用在实际的慢响应工业系统，如热电厂的控制28-30和船舶的跟踪控制30。其稳定性也得到了分析和验证29。约束该NMPC的优化问题由二次规划（QP）程序解决，这是一种计算量巨大并适于缓慢变化的系统的类型的程序。在本文中，利用事后输入约束规则，MPC的优化时间大大减少，从而实现了快速响应磁悬浮系统的控制。实时控制结果表明离线辨识的RBF-ARX模型可以全局范围上模拟非线性磁悬浮系统，以及基于该模型的预测控制器相对于其他控制方案在快速响应、强非线性和开环不稳定的系统上具有优异的操控性能。在基于RBF-ARX模型的MPC能够控制一些慢的响应工厂的先期工作基础上，本文的主要贡献是进一步详细
9、的展现强实时性的实验数据。那就是RBF-ARX模型不仅能够在全局范围，而且能在局部上捕捉和量化强非线性和快速反应系统的行为，以及基于该模型的预测控制策略在非线性系统有相当好的宽工作范围。2、磁悬浮小球系统的建模本文的研究对象是磁悬浮小球系统，在我们的实验室，它由两部分组成：磁悬浮装置和控制计算机。磁悬浮装置由电磁铁，功率放大器，光电传感器，LED光源和控制对象，如图.1所示实验装置是单轴磁悬浮系统，仅能够控制对象向上下移动。该控制的目的是为了保持磁悬浮球稳定在给定的位置上，或使球跟踪所希望的轨迹。磁悬浮小球系统的结构图描绘在图2，其中，y表示球的位置，也表示球和电磁铁表面之间的间距。电磁铁表面
10、被定义为原点和向下运动是负向。产生控制磁悬浮球的位置的电磁力F的绕组电流由控制策略决定。图.2磁悬浮小球控制系统的原理图。表1模型参数参数类型小球质量（m）小球半径（r）电阻（R）线圈数（n）K(Nm2/A2)间隙范围数值22g12.5mm13.824502.3142e4016mm2.1 物理模型为了建立系统的物理模型，作如下几个假设：（i） 电磁铁和小球之间存在理想磁场；（ii） 小球是均匀球体；（iii） 电磁铁与小球和绕组间的漏磁通之间的磁电阻可以被忽略。由牛顿第二定律、毕奥 - 萨伐尔定律、能量守恒的基本法律和基尔霍夫定律，可以得出磁悬浮小球的运动方程，如下所示：m表示钢球的质量，y（
11、t）是在球和电磁铁表面之间的瞬时间隙，g是重力加速度，F（i，y）是电磁力，u（t）是电磁线圈的电压，i（t）是瞬时电流通过线圈中，R是电磁线圈的等效电阻，L1是自感线圈，K为电磁线圈的互感的相关系数。该系统的原型参数列于表1。在模型（1）中，所述第一方程式表征磁悬浮系统的动态特性，并且第二个方程涉及了电力学和动力学并表明了F，I和y之间有很强的非线性关系。如果假设小球是处于平衡状态，即稳定悬浮状态，小球受到的电磁力必须等于的其受到引力，即mg + F(I0, y0) = 0, 其中点(i0, y0) 被视为平衡点或工作点。一旦小球受到干扰，原先的平衡就会被打破，则闭环控制系统必须确保该球可以
12、回到平衡点。从模型（1）可以看出，平衡点的变化与变量i与y相关，并且该系统是高度非线性的。然而，在某个确定的平衡点，该系统可以被认为是一个局部线性系统。这个特性可以捕获并通过RBF-ARX模型量化。2.2 RBF-ARX模型模型（1）只是一个基于假设（i） - （iii）下的一个近似的方程式，并且在表1中的一些参数，例如K，R和L，不是那么准确的，甚至它们不是真正的常量。因此，使用基于模型（1）的控制器并不容易得到良好的控制效果。为了克服上述情况下物理建模的缺点，我们可能会尝试使用数据驱动建模技术来获得一个可能可以捕获全局和量化磁悬浮球系统的非线性行为的模型。RBF-ARX模型20可能是一个能
13、够模拟磁悬浮系统的非线性动力学特性的模型。磁悬浮系统实验平台是一个单输入单输出（SISO）系统，所以它的SISO RBF-ARX模型可被设计如下。y(t)是输出，如球的位置；u（t）是输入，如电磁铁的控制电压；（t）表示白噪声序列；ny、nu、m和nw= dimW(t 1)是相应的命令；W(t 1) 是该系统的工作点的状态向量；Zki是RBF网络中心，而(k=1,2,.,m;i=y,u);0,y,i和u,i伴随W(t 1)的高斯非线性状态依赖系数；ck0和cji,k k(i = 1, 2, . . ., nj; j = y, u; k = 0, 1, 2, . . .,m) 是权重系数；ik(
14、k = 1, 2, . . .,m; i = y, u) 是换算因子；|表示矢量2-norm。实际上，模型（2）与高斯RBF网络的式的系数具有自回归结构，其在每一个工作点都通过固定W（t-1）使其与线性ARX模型结构相识。它通过将参数空间分割成许多小段来处理非线性过程，并且每个段都被视为局部德尔平稳过程。此外，系数y,i、u,i和局部0变量还取决于在（t - 1）时刻过程中的工作点。RBF-ARX模型也被视为一个全局性的非线性模型，能够全局性的描述系统的非线性动力学状态。2.3. 对RBF-ARX的模型辨识对RBF-ARX模型的辨识主要包括确定模型命令和估计模型参数。在本文中，所有参数都通过使
15、用从图1实验平台所产生的观察数据进行离线估计，以避免在实时控制期间在线参数估计失败造成的潜在问题。观测数据是通过图3所示的传统的PID控制算法进行采样。“增益”用于将输出电压（单位：V）转换成球的位置（单位：mm），这是通过校准光电传感器获得。传感器和电流驱动器经由PCI1711转换卡连接到一台带有MATLAB/ SIMULINK2010b的WindowsXP操作系统的PC。所有实验的采样周期都被选择为5毫秒。为了使磁悬浮系统可辨识，就必须使球尽可能地在大范围内稳定地移动。我们选择一个正弦波（即3.6 sin t 9（单位：mm）作为参考轨迹，添加一个白噪声信号到平台的输入用于激发其动态模式。图4示为8000个观测数据，其中，前4000个数据点被用于优化模 型（2）的参数而后的4000个数据点被用来测试该模型的性能。结构化非线性参数优化方法（SNPOM）20，这是用列文伯格 - 马夸尔特法（LMM）估计非线性参数以及在每一个迭代搜索使用最小二乘法（LSM）估计线性参数，这种方法通过使用图4的观察数据来估计RBF-ARX模型的参数。这是一个非常有效的优化方法，特别是对线性参数数量大于非线性参数数目的系统。在模型（2）中，Zik和ik为非线性参数，Ci是线性参数。因此，模型（2）已经对(m +1）（ny+nu+ 1）的线性参数
