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1、2019年10月22日星期二,1,第四节 空间的曲面与曲线,第六章,四、空间曲线的方程,一、曲面方程的概念,二、一些常见的曲面,三、二次曲面,六、小结与思考练习,五、空间曲线在坐标面上的投影,2019年10月22日星期二,2,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,2019年10月22日星期二,3,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1
2、) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,定义1,2019年10月22日星期二,4,故所求方程为,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例1 求动点到定点,二、一些常见的曲面,1.球面,2019年10月
3、22日星期二,5,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,的曲面. （课本 例1）,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,例2 研究方程,2019年10月22日星期二,6,定义2 一条平面曲线,2.旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.,例如 :,2019年10月22日星期二,7,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,2019年10月22日
4、星期二,8,求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐,标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成,该变量与第三变量平方和的正负平方根.,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,2019年10月22日星期二,9,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例2 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,2019年10月22日星期二,10,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,例 求坐标面 xoz 上的双曲线,
5、(旋转双叶双曲面）,(旋转单叶双曲面）,（习题6-4 3（2）,2019年10月22日星期二,11,3.柱面,引例 分析方程,表示怎样,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面 ?,2019年10月22日星期二,12,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(
6、且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,定义3,2019年10月22日星期二,13,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0.,母线,一般地,在三维空间,2019年10月22日星期二,14,三、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲
7、面.,(二次项系数不全为 0 ),2019年10月22日星期二,15,方法是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状这种方法叫做截痕法,怎样了解三元方程,所表示的曲面的形状呢?,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,2019年10月22日星期二,16,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,1. 椭球面,(Ellipsoid),2019年10月22日星期二,17,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),2019年10月22日星期二,18,2.单叶双曲
8、面(Hyperboloid of One Sheet),椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,2019年10月22日星期二,19,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,2019年10月22日星期二,20,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面: 系数二项正,一项为负.,双叶双曲面: 系数一项正,二项负.,图形,3. 双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets),（a、b、c 是正数）,2019年10月22日星期二,21,4. 椭圆抛物
9、面,2019年10月22日星期二,22,5. 双曲抛物面,所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.,2019年10月22日星期二,23,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,6.椭圆锥面,(Elliptic Cone),2019年10月22日星期二,24,四、空间曲线的方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例3 方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,1.空间曲线的一般方程,2019年10月22日星期二,25,表示上半球面与圆柱面的交线C.,例4 方程组,2019年10月22日星期二,26,2.空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t
10、的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,2019年10月22日星期二,27,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,2019年10月22日星期二,28,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比 即,上升的高度,螺距,2019年10月22日星期二,29,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例 将下列曲线化为参数方程表示:,2019年10月22日星期二,30,五、曲面的参数方程,(The Parametric Equation of Surface),一般曲面的参数方程含两个参
11、数 , 形如,2019年10月22日星期二,31,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程 .,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程 .,例 求空间曲线 :,2019年10月22日星期二,32,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和 , 得旋转曲面方程为,例如, 直线,2019年10月22日星期二,33,绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为,又如, xoz 面上的半圆周,2019年10月22日星期二,34,定义：以曲线 为准线、母线平行于,轴的柱面叫做,关于,面的投影柱面，投影柱面与,面的交线叫做空间曲线,在,或简称投影（类似地可以定义
12、曲线 在其他坐标,面上的投影）,面上的投影曲线，,六、空间曲线在坐标面上的投影,(Projecting Curve on a Coordinate Plane of Space Curve),曲线,2019年10月22日星期二,35,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,2019年10月22日星期二,36,消去变量z后得：,曲线关于 的投影柱面,设空间曲线C的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,空间曲线C在 面上的投影曲线C,2019年10月22日星期二,37,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投
13、影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,2019年10月22日星期二,38,例6 求曲线,在xoy 面上的投影曲线方程为,2019年10月22日星期二,39,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,2019年10月22日星期二,40,所围的立体在 xoy 面上的投影区域.,和锥面,在xoy 面上的投影曲线,二者交线,所求的投影区域是圆域:,解:半球面和锥面的交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,例8 求上半球面,为所求的投影区域.,2019年10月22日星期二,41,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面
14、,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,2019年10月22日星期二,42,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,2. 二次曲面,2019年10月22日星期二,43,3. 空间曲线,一般方程（三元方程组）,或参数方程,(如, 圆柱螺线),4. 曲面的参数方程,5. 空间曲线在坐标面上的投影,2019年10月22日星期二,44,作业,习 题 6-3 P43-45 9; 16,2019年10月22日星期二,45,2019年10月22日星
15、期二,46,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,2019年10月22日星期二,47,3. 习题6-4 4,题4答案:,在 xoy 面上,2019年10月22日星期二,48,(2),(1),4. 展示空间图形,2019年10月22日星期二,49,(3),2019年10月22日星期二,50,(4),2019年10月22日星期二,51,(5),2019年10月22日星期二,52,(6),2019年10月22日星期二,53,5. 求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,2019年10月22日星期二,54,截线方程为,解,如图,2019年10月22日星期二,55,截线方程为,
